A Difference Scheme for Solving the Equations of Tumor Growth Subject to the Restricted Flow of Motile Cells

Abstract

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò (ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò), ã. Äîëãîïðóäíûé  ñòàòüå èññëåäîâàíà îäíîìåðíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ðîñòà ðàêîâîé îïóõîëè â êâàçèëèíåéíûõ óðàâåíèÿõ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà.  ìîäåëè ââîäèòñÿ îãðàíè÷åíèå íà ïîëíûé ïîòîê ïîäâèaeíûõ îïóõîëåâûõ êëåòîê, ÷òî ïðèâîäèò ê âîçìîaeíîñòè âûðîae-äåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé â ãèïåðáîëè÷åñêèé òèï è ïîÿâëåíèþ ðàçðûâíûõ (ñëàáûõ) ðåøåíèé. Äëÿ íàõîaeäåíèÿ ñëàáûõ ðåøåíèé ðàçâèòèå îïóõîëè òðàêòîâàëîñü êàê ïîÿâ-ëåíèå íîâîé ôàçû.  èòîãå ðåøåíèå çàäà÷è ñâåëîñü ê ðåøåíèþ îáîáùåííîé (íåëèíåé-íîé) çàäà÷è Ñòåôàíà. Ïðåäëîaeåíà è ðåàëèçîâàíà ðàçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ äàííîé çàäà÷è ñ ÿâíûì âûäåëåíèåì ïîäâèaeíîé ãðàíèöû ôàçîâîãî ïåðåõîäà. Ïîêàçàíî, ÷òî äàííûé ïîäõîä ïîçâîëÿåò îïèñûâàòü ðàçëè÷íûå ðåaeèìû îïóõîëåâîãî ðîñòà.Êëþ÷åâûå ñëîâà: ðàçíîñòíàÿ ñõåìà; òàêñèñ ïî ñóáñòðàòó; çàäà÷à ñ ïîäâèaeíîé ãðàíèöåé; âûäåëåíèå ðàçðûâà. Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÐàêîâûå çàáîëåâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ îäíîé èç îñíîâíûõ ïðè÷èí ñìåðòíîñòè â ìèðå. Íà îíêîëîãè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ åaeåãîäíî òðàòÿòñÿ çíà÷èòåëüíûå ñðåäñòâà. Ê íàñòîÿ-ùåìó âðåìåíè íàêîïëåíî îãðîìíîå êîëè÷åñòâî ýêñïåðåìåíòàëüíîãî ìàòåðèàëà î òå-÷åíèè ðàêîâûõ çàáîëåâàíèé. Îñíîâûâàÿñü íà àíàëèçå ýòîãî ìàòåðèàëà, óäàëîñü óñòà-íîâèòü íåêîòîðûå ìåõàíèçìû, ñïîñîáñòâóþùèå ðîñòó è ðàçâèòèþ ðàêîâûõ îïóõîëåé. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, íàðÿäó ñ ýêñïåðèìåíòîì, ÿâëÿåòñÿ âàaeíûì èíñòðó-ìåíòîì äëÿ èññëåäîâàíèÿ çàêîíîìåðíîñòåé îïóõîëåâîãî ðîñòà. Ñóùåñòâóåò áîëüøîå êîëè÷åñòâî ðàçíîîáðàçíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, îò ïðîñòûõ äèôôóçèîííûõ äî ñëîaeíûõ ìíîãîóðîâíåíûõ, êîòîðûå îïèñûâàþò ðàçëè÷íûå àñïåêòû ðàçâèòèÿ îïóõî-ëåé (ðîñò, âàñêóëÿðèçàöèþ, àíãèîãåíåç è äð.), à òàêaeå ïîçâîëÿþò îöåíèòü ýôôåêòèâ-íîñòü âîçäåéñòâèé íà îïóõîëü ïóòåì ðåøåíèÿ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. äàííîé ðàáîòå ïðåäëàãàåòñÿ ìîäåëü ñ ó÷åòîì äèôôóçèîííîé è õåìîòàêñè÷åñêîé ïîäâèaeíîñòè îïóõîëåâûõ êëåòîê, à òàêaeå ãåòåðîãåííîãî îêðóaeåíèÿ, îñíîâàííàÿ íà ïîäõîäå [1]. Ñóùåñòâåííûìè íåäîñòàòêàìè [1] ÿâëÿþòñÿ âîçìîaeíîñòü ðîñòà ñóììàð-íîé êîíöåíòðàöèè êëåòîê äî ëþáîãî óðîâíÿ, à òàêaeå áåñêîíå÷íàÿ ñêîðîñòü ðàñïðî-ñòðàíåíèÿ îïóõîëåâûõ ïîäâèaeíûõ êëåòîê. Îäíèì èç ïóòåé ðåøåíèÿ ýòèõ ïðîáëåì ÿâëÿåòñÿ ïîñòàíîâêà âàðèàöèîííîé çàäà÷è, àíàëîãè÷íî [2], ñ ó÷åòîì îãðàíè÷åíèé òè-ïà íåðàâåíñòâ íà ïîëíûé ïîòîê è ñóììàðíóþ ÷èñëåííîñòü êëåòîê. Äðóãîé ïóòü èñïîëüçîâàíèå ôåíîìåíîëîãè÷åñêîãî îãðàíè÷åíèÿ ïîòîêà ïîäâèaeíûõ êëåòîê. Òàêîé ïîäõîä èñïîëüçîâàëñÿ â [3] äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ðåëàêñàöèîííîãî òåïëîïåðåíîñà â ïëàç-ìå. Çäåñü îí ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ áèîëîãè÷åñêîé çàäà÷è. Ñ ó÷åòîì îãðàíè÷åíèÿ ïîòîêà 98