A dual self-monitored reconstruction scheme on theTV-regularized inverse conductivity problem

Abstract

Recently in Charalambopoulos et al. (2020), we presented a methodology aiming at reconstructing bounded total variation ($TV$) conductivities via a technique simulating the so-called half-quadratic minimization approach, encountered in Aubert & Kornprobst (2002, Mathematical Problems in Image Processing. New York, NY: Springer). The method belongs to a duality framework, in which the auxiliary function $\omega (x)$ was introduced, offering a tool for smoothing the members of the admissible set of conductivity profiles. The dual variable $\omega (x)$, in that approach, after every external update, served in the formation of an intermediate optimization scheme, concerning exclusively the sought conductivity $\alpha (x)$. In this work, we develop a novel investigation stemming from the previous approach, having though two different fundamental components. First, we do not detour herein the $BV$-assumption on the conductivity profile, which means that the functional under optimization contains the $TV$ of $\alpha (x)$ itself. Secondly, the auxiliary dual variable $\omega (x)$ and the conductivity $\alpha (x)$ acquire an equivalent role and concurrently, a parallel pacing in the minimization process. A common characteristic between these two approaches is that the function $\omega (x)$ is an indicator of the conductivity’s ‘jump’ set. A fortiori, this crucial property has been ameliorated herein, since the reciprocal role of the elements of the pair $(\alpha ,\omega )$ offers a self-monitoring structure very efficient to the minimization descent.

Συναρτήσεις Φραγμένης Κύμανσης Και Αντίστροφα Προβλήματα

“…Η παραπάνω ιδέα, που εν συντομία μπορεί να παρομοιαστεί με ένα σχήμα διπλού μηχανισμού ελέγχου, στον επόπτη ω(x) και συγχρόνως μέσω αυτού στο jump set της αγωγιμότητας, ορίζει ένα νέο τύπο κανονικοποίησης που αναφέρεται ως "Dual Self-Monitored T V − inversion" [75].…”

“…Συνεχίζουμε με την εφαρμογή του δυϊκού σχήματος κανονικοποίησης για την επίλυση του αντίστροφου προβλήματος της αγωγιμότητας σε πειράματα διαφορετικής πολυπλοκότητας. Αναπτύσσουμε την αντίστοιχη αριθμητική μέθοδο αντιστροφής "Self-Guided T V − inversion", και αναφέρεται ως SGTV [75], η οποία ενεργοποιεί επακριβώς το διπλό μηχανισμό ελέγχουπου εκφράζεται από τους όρους (178) και (209)στο ζεύγος (α, ω). Η υπολογιστική διαδικασία ξεκινά με μια αρχική εκτίμηση (u 0 , v 0 , α 0 , ω 0 ).…”

“…Με αναφορά στο δυϊκό σχήμα κανονικοποίησης (177)-(178), αναπτύσσουμε τη γενικευμένη εκδοχή της Dual Self-Monitored T V − inversion [75] για τον ταυτόχρονο προσδιορισμό του ζεύγους α = (λ, µ). Προς αυτόν το σκοπό, υλοποιούμε τον T V − όρο κανονικοποίησης (177) ξεχωριστά για κάθε συντελεστή Lamé.…”

“…λ ∈ L ∞ δ (Ω, [b 1 , c 1 ]) = {︂ λ ′ ∈ L ∞ (Ω, [b 1 , c 1 ]) : ∥λ ′ − c 1 ∥ L ∞ (Ω δ ) = 0 }︂ και µ ∈ L ∞ δ (Ω, [b 2 , c 2 ]) = {︂ µ ′ ∈ L ∞ (Ω, [b 2 , c 2 ]) : ∥µ ′ − c 2 ∥ L ∞ (Ω δ ) = 0 }︂ .Για τις αρχικές τιμές (u 0 , v 0 ) των διανυσματικών πεδίων u, v επιλέγουμε τις λύσεις των διαφορικών εξισώσεων (232)-(233) για α = α 0 . Τέλος, για τη δομή εκκίνησης της δυϊκής μεταβλητής ω ακολουθείται η ανάλυση του[75] σύμφωνα με την οποία το ω 0 − προφίλ διαμορφώνεται βάσει του τύπου (213) για β = 10 −6 . Η τρέχουσα απαιτητικότερησυγκριτικά με τη βαθμωτή περίπτωση της αγωγιμότηταςπερίπτωση της διδιάστατης ελαστικότητας επιβάλλει τη σταδιακή εξέταση της λειτουργικότητας της μεθόδου ως προς την επιλογή του ω 0 .…”