A functoriality principle for blocks of
                    𝑝-adic linear groups

Dat, Jean-François

doi:10.1090/conm/691/13895

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“…We expect using endo-parameters that there is a reduction of the block decomposition for G o to the depth zero block decompositions of twisted Levi subgroups of G o . This fits with work of Chinello for general linear groups [15] and with general predictions of Dat [17] .…”

Section: Introductionsupporting

confidence: 89%

Endo-parameters for p-adic classical groups

2020

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For a classical group over a non-archimedean local field of odd residual characteristic p, we prove that two cuspidal types, defined over an algebraically closed field $${\mathbf {C}}$$ C of characteristic different from p, intertwine if and only if they are conjugate. This completes work of the first and third authors who showed that every irreducible cuspidal $${\mathbf {C}}$$ C -representation of a classical group is compactly induced from a cuspidal type. We generalize Bushnell and Henniart’s notion of endo-equivalence to semisimple characters of general linear groups and to self-dual semisimple characters of classical groups, and introduce (self-dual) endo-parameters. We prove that these parametrize intertwining classes of (self-dual) semisimple characters and conjecture that they are in bijection with wild Langlands parameters, compatibly with the local Langlands correspondence.

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Section: Introductionsupporting

confidence: 89%

Endo-parameters for p-adic classical groups

2020

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“…Here, the second line is the bijection explained in 1.2.1, while the first line is the same bijection for GL n ′ ,F ′ , composed with the Shapiro bijection [5,Corollary 2.3.3]. The left vertical map is composition with ξ, and the right vertical oneξ * is the transfer of conjugacy classes that one gets through any embedding GL n ′ (F ′ ) ֒→ GL n (F) obtained by choosing an F-basis of F ′ n ′ .…”

Section: 25mentioning

confidence: 99%

“…This is already the case for Q ℓ -coefficients since the Iwahori-Hecke algebra of GL n (F ) only depends on the residual field of F . However, we have explained in [5] how a very natural G ′ stands out when we take the Langlands-dual point of view.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Equivalences of tame blocks for p-adic linear groups

Dat

2018

Math. Ann.

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Let p and ℓ be two distinct primes, F a p-adic field and n an integer. We show that any level 0 block of the category of smooth Z ℓ -valued representations of GL n (F ) is equivalent to the unipotent block of an appropriate product of GL n i (F i ). To this end, we first show that the level 0 category of GL n (F ) is equivalent to a category of "modules" over a certain Z ℓ -algebra "with many objects" whose definition only involves n and the residue field of F . Then we use fine properties of Deligne-Lusztig cohomology to split this algebra and produce suitable Morita equivalences. * The author thanks the Institut Universitaire de France and the ANR project ANR-14-CE25-0002 PerCo-LaTor for their support. ∼

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“…Dans le cas du niveau 0, Dat propose (voir [Dat16]) une nouvelle construction des blocs de en utilisant la théorie de Deligne–Lusztig et des systèmes d’idempotents sur l’immeuble de Bruhat–Tits semi-simple (comme dans l’article de Meyer et Solleveld [MS10]). Il réinterprète également dans [Dat17] les paramétrisations des décompositions précédentes de en termes ‘duaux’. Introduisons quelques notations pour un énoncé plus précis.…”

Section: Introductionunclassified

“…Il nous reste à étudier l’action de sur le centre de . D’après [Dat17, lemme 2.1.1], il existe et une extension de telle que . En particulier a une action d’ordre fini sur .…”

unclassified

Sur les -blocs de niveau zéro des groupes -adiques

Lanard¹

2018

Compositio Math.

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Soient G un groupe p-adique se déployant sur une extension nonramifiée et Rep 0 Λ (G) la catégorie abélienne des représentations lisses de G de niveau 0 à coefficients dans Λ = Q ℓ ou Z ℓ . Nous étudions la plus fine décomposition de Rep 0 Λ (G) en produit de sous-catégories que l'on peut obtenir par la méthode introduite dans [Lan18]. Nous en donnons deux descriptions, une première du côté du groupe à la Deligne-Lusztig, puis une deuxième du côté dual à la Langlands. Nous prouvons plusieurs propriétés fondamentales comme la compatibilité à l'induction et la restriction parabolique ou à la correspondance de Langlands locale. Les facteurs de cette décomposition ne sont pas des blocs, mais on montre comment les regrouper pour obtenir les blocs "stables". Ces résultats corroborent une conjecture énoncée par Dat dans [Dat17a].Abstract. Let G be a p-adic group which splits over an unramified extension and Rep 0 Λ (G) the abelian category of smooth level 0 representations of G with coefficients in Λ = Q ℓ or Z ℓ . We study the finest decomposition of Rep 0 Λ (G) into a product of subcategories that can be obtained by the method introduced in [Lan18]. We give two descriptions of it, a first one on the group side à la Deligne-Lusztig, and a second one on the dual side à la Langlands. We prove several fundamental properties, like for example the compatibility to parabolic induction and restriction or the compatibility to the local Langlands correspondence. The factors of this decomposition are not blocks, but we show how to group them to obtain "stable" blocks. These results confirm a conjecture given by Dat in [Dat17a]. * σ ) ss ∼ −→ (G * gσ ) ss . * σ ) ss,Λ . Définissons le système S de classes de conjugaison par S σ = {s} et S τ = ∅ si τ = σ. On pose alors S (σ,s) := S. 2.2.2. Définition. On appelle C Λ l'ensemble des couples (σ, s) où σ ∈ BT et s ∈ (G * σ ) ss,Λ et on définit une relation d'équivalence ∼ sur C Λ par (σ, s) ∼ (τ, t) si et seulement si S (σ,s) = S (τ,t) . On obtient aisément le lemme suivant 2.2.3. Lemme. Soient σ, τ ∈ BT, et s ∈ (G * σ ) ss,Λ , t ∈ (G * τ ) ss,Λ . Alors, soit S (σ,s) = S (τ,t) , soit S (σ,s) ∩ S (τ,t) = ∅. Exprimé en termes de classes d'équivalence, ce lemme nous dit que [σ, s] la classe d'équivalence de la paire (σ, s) est donnée par [σ, s] = {(τ, t) | t ∈ S (σ,s),τ }. Posons S min Λ := {S (σ,s) , [σ, s] ∈ C Λ /∼}. L'ensemble S min Λ est constitué des ensembles 0-cohérents minimaux et par la proposition 2.1.6 on a M,Λ Rep T Λ (M ).

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A functoriality principle for blocks of 𝑝-adic linear groups

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