A Kolmogorov complexity characterization of constructive Hausdorff dimension

Kolmogorov Complexity and Algorithmic Randomness

“…(Первоначально определение эффективной хаусдорфовой размерности было предложено в терминах вычислимых мартингалов, см. [93,100], где установлены приводимые ниже свойства размерно-сти; об этом варианте определения см. далее в разделе 9.10.)…”

“…Лемма доказана. 100 Докажите, что (его сходимость можно установить, например, с помощью интегрального призна-ка сходимости и интегрирования по частям). Он даёт оценку KP ( ) log + + 2 log log + (1), которая после перехода к словам превращается в KP ( ) ( ) + 2 log ( ) + (1).…”

Computability theory, algorithmic randomness and Turing's anticipation

“…Mayordomo [102] proves that effective Hausdorff dimension of X is equal to lim inf n→∞ K(X n) n . Athreya, Hitchcock, Lutz, and Mayordomo [4] proved that the effective packing dimension is lim sup n→∞ K(X n) n (C can replace K in both cases).…”

A Divergence Formula for Randomness and Dimension

“…These two constructive dimensions, which were introduced in [13,1] where the logarithm is base-2 [16,1]. In these equations, K(w) is the Kolmogorov complexity of the prefix w of S, i.e., the length in bits of the shortest program that prints the string w. (See section * This research was supported in part by National Science Foundation Grants 9988483, 0344187, 0652569, and 0728806 and by the Spanish Ministry of Education and Science (MEC) and the European Regional Development Fund (ERDF) under project TIN2005-08832-C03-02.…”