A New Simple Proof of the Gelfand-Mazur-Kaplansky Theorem

García, Miguel Cabrera; Palacios, Ángel Rodríguez

doi:10.2307/2160559

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“…Consequently, if X * is smooth, then X is strictly convex. (ii) If a norm one point x has two distinct support functionals f and g, then 1 2 ( f + g) has norm one, but is not an extreme point of the unit ball of X * . Consequently, if X * is strictly convex, then X is smooth.…”

Section: Theoremmentioning

confidence: 99%

“…where the first inequality used the obvious estimate 1 2 (|ac| 2 + |bd| 2 ) ≥ 0, and the second used the modified Cauchy-Schwarz inequality (α + β) 2 ≤ 2(α 2 + β 2 ).…”

Section: Proposition 1 [8]mentioning

confidence: 99%

“…Then, the assumptions y n = 1 and xy n → 0 imply that x = 0; i.e., A has no topological divisors of zero. Thanks to the Gelfand-Mazur-Kaplansky theorem [1], this tells us that A is 1-dimensional, i.e., isomorphic to the complex field.…”

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confidence: 99%

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Strictly Convex Banach Algebras

Yost

2021

Axioms

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We discuss two facets of the interaction between geometry and algebra in Banach algebras. In the class of unital Banach algebras, there is essentially one known example which is also strictly convex as a Banach space. We recall this example, which is finite-dimensional, and consider the open question of generalising it to infinite dimensions. In C*-algebras, we exhibit one striking example of the tighter relationship that exists between algebra and geometry there.

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Section: Theoremmentioning

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“…where the first inequality used the obvious estimate 1 2 (|ac| 2 + |bd| 2 ) ≥ 0, and the second used the modified Cauchy-Schwarz inequality (α + β) 2 ≤ 2(α 2 + β 2 ).…”

Section: Proposition 1 [8]mentioning

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Strictly Convex Banach Algebras

Yost

2021

Axioms

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“…Há um refinamento do Teorema de Gelfand-Mazur conhecido como Teorema de Gelfand-Mazur-Kaplansky, cuja prova simples pode ser encontrada em [13]. 16 Stanis law Mazur (1905Mazur ( -1981 foi um matemático polonês.…”

Section: Posteriormente Um Resultado Mais Geral Foi Estabelecidounclassified

“…Teorema 1.124. (Existência e unicidade do produto tensorial) 13 Dados espaços vetoriais V 1 , ..., V k , k ≥ 1 inteiro positivo, o produto tensorial V 1 ⊗ ... ⊗ V k existe e é único, a menos de isomorfismos.…”

Section: áLgebras De Lie E De Malcevunclassified

Álgebras de Clifford e de Cayley-Dickson

Baldo¹

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Agradeço, em primeiro lugar, a minha queria e amada mãe, Maria Aparecida Marchi Baldo, que já não pertence mais a este plano material, mas vive num plano extracorpóreo muito mais amplo e sublime, que me proporcionou chegar até aqui e cujo apoio e carinho nunca poderei retribuir. Agradeço a minha família pelo apoio, ao meu orientador, o professor Dr. Jayme Vaz Jr., por ter aceitado supervisionar meus estudos, pela paciência e pelas dicas que ajudaram a melhorar minha dissertação, ao professor Dr. Cristiano Torezzan por ter-me esclarecido várias questões que brotaram ao longo deste mestrado e também a todos os professores e funcionários do IMECC pela atenção e estima. ResumoNeste trabalho, estudamos de maneira geral os números hipercomplexos, com especial atenção para os complexos, os quaternions e os octonions. Estudamos as álgebras de Cayley-Dickson, expondo suas principais propriedades, e, de forma muito breve, algumas outras álgebras hipercomplexas, e.g., os split-complexos, os split-quaternions e os split-octonions. Seguimos introduzindo as álgebras de Clifford associadas a K-espaços quadráticos (V, Φ) (char(K) = 2), enfatizando as álgebras de Clifford dos espaços quadráticos reais (R p,q , Φ p,q ), Cl p,q , dando a completa classificação dessas álgebras utilizando resultados como o teorema de periodicidade de Cartan-Bott. Também discorremos brevemente sobre representações de álgebras de Clifford e introduzimos os grupos de Clifford-Lipschitz, Pin e Spin. No último capítulo, após termos dissertado acerca da teoria clássica e dos aspectos fundamentais das álgebras de Clifford reais e das de Cayley-Dickson, mostramos que, deveras, essas duas álgebras emergem duma mesma estrutura algébrica mais fundamental, que chamamos de álgebra quaterniônica generalizada e ampliada, e a denotamos por U n−1 (γ n ).

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A note on the Gelfand-Mazur Theorem

Bhatt

Karia²,

Kulkarni

et al. 1998

Proc. Amer. Math. Soc.

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Abstract. Three Gelfand-Mazur type theorems are proved. One of these provides a C * -property analogue of Zalar's recent generalizations of the FroelichIngelstam-Smiley Theorems concerning unital multiplication in Hilbert spaces; the second illustrates that the assumption in Kaplansky's version of the Gelfand-Mazur Theorem can be weakened in the presence of a C * -norm; whereas the third provides a real analogue of a result due to Srinivasan.

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A New Simple Proof of the Gelfand-Mazur-Kaplansky Theorem

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