A note on orthonormal polynomial bases and wavelets

Всплески В Пространствах Гармонических Функций

“…Напомним (см. [1], [2]), что функции ip и ф порождают ортонормированные сис темы целых, быстро убывающих функций {2i' 2 tpQ j x + k)} keZ , jeZ, {l,2^(2^ + fc);(fc,i)eZ 2 }, вторая из которых является ортонормированным базисом всплесков всех пространств Ь Р (Ш), 1 ^ р < оо, и СЬ(М), а их периодизации порождают ортонормированные на (0, 27г) системы тригонометрических полиномов {Ф,-*(аО:0<Л<2''}, j € Z+, {l, * jk (x) : 0 < к < 2^,j € Z+},…”

“…Оно связано с определенной в самом начале работы исходной функцией И. Мейе-ра: (-(1 -г)/2, (1 -г)/2) -наибольшийинтервал, на котором ^(t) = 1, где <р(£) -любая выбранная из построенных им для г = 1/3 функций. Условие на гладкость ф в контексте этой работы можно так же, как в [2], ослабить, потребовав лишь абсо лютную непрерывность ф' (t) или даже только абсолютную непрерывность ф(Ь) и ограниченность вариации ф' (t). …”

On an orthonormal polynomial basis in the space C[-1,1]

“…Some more recent partial positive results in this case were obtained in [10], [11], [16] and [8], and then the complete solutions (with orthogonality property) were given in [7] and [17]. The former work was based on [8] and used the wavelet theory techniques, the latter was based on very close ideas. There were however some problems with transference of these constructions to the algebraic case.…”

Algorithms for Trigonometric Wavelet Packets

“…The particular functions used in this paper were studied by Privalov [23] in the search for orthogonal trigonometric bases of optimal degree for the space of continuous 2π-periodic functions. This problem was further investigated in [18] and eventually completely resolved in [16] using wavelet and wavelet packet techniques, respectively. The first approach to develop a trigonometric multiresolution analysis of nested spaces of trigonometric polynomials was introduced by Chui & Mhaskar [2], with their investigations being based on quasi-interpolants.…”