A post-Lie operad of rooted trees

Abstract

ACKNOWLEDGEMENTSFor non portuguese speakers, I would like to justify why I prefer to write my acknowledgments in portuguese. Indeed, the reasons are very simple: first, for me nothing better then my mother language to talk about feelings, second, the most of people cited here are portuguese speakers.Redigir meus agradecimentos foi uma das partes subjetivas mais difíceis desse trabalho. Primeiro porquê em um processo tão longo quanto um doutorado é tanta gente que indiretamente contribuiu que fica difícil lembrar de todos. Segundo, porquê não tenho grandes habilidades na escrita. Assim, começo os agradecimentos me justificando caso o texto não fique lá essas coisas e/ou pedindo desculpas se esqueci de alguém.Uma vez livre da culpa, posso relaxar e de fato escrever alguns agradecimentos. Por uma questão cronológica, começo agradecendo à minha família baiana. Nem todos ajudaram na mesma medida, alguns mais e outros nem tanto... Mas enfim, o que não te mata fortalece. E cada um, à sua maneira, teve sua dose de contribuição. Nessa dose, destaco as mulheres da minha família: tias, avós, mãe. Mulheres que me deram exemplo de fibra e dignidade. Sem elas, talvez nem teria chegado onde cheguei.Quando moramos longe dos nossos familiares percebemos que o conceito de família é muito mais amplo do que se convenciona. Assim, dedico essa parte dos agradecimentos à minha família de sãocarlense: Nahara, Paulo, Cida, Eduardo e Joyce. Amigos queridos que considero como irmãos. E falando em amizades, apesar de não ser a pessoa mais sociável do planeta, fiz também novas amizades que pretendo cultivar: Dione, Mariana, Alex, Liliam e Jean. Vocês tornaram mais leves esses dias árduos de doutorado.Agradeço a Renan meu companheiro e dono do segundo melhor abraço do universo (o primeiro é de mainha). Um presente que o doutorado me trouxe, foi um ouvinte paciente e ativo. Afinal, perdi as contas de quantas vezes ele ouviu e me ajudou com as ideias para a tese.Ao meu orientador, Professor Igor, responsável por grande parte do meu recente amadurecimento profissional. Bons orientadores têm esse dom de nos reiventar.Aos professores que tive ao longo do curso: Irene, Behrooz, Grossi. Bem como a minha milagreira, ops, professora de inglês Élen. De cada um de vocês levo inspirações e bons exemplos.Aos professores Daniel, Alexandre e Cristián, pelas contribuições no meu trabalho e pela paciência, pois entendo que não foi uma leitura leve.A UESC, instituição onde trabalho, e ao ICMC que me deram a oportunidade de passar por essa experiência enriquecedora.ABSTRACT SILVA, P. S. F. A post-Lie operad of rooted trees. 2018. 93 p. Tese (Doutorado em Ciências -In this thesis we propose a description of the operad defining post-Lie algebras in terms of rooted trees and we discuss some applications of such a construction. In particular, we re-derive both the free post-Lie algebra defined in [22] and the main result of the paper [8]. Furthermore, a possible extension of the concept of symmetric brace algebra to the category of the post-Lie algebras is proposed.

Translations of rough paths in combinatorial Hopf algebras

“…) is the free post-Lie algebra [9,10,18,21,25]. Post-Lie algebras are defined by the two relations above.…”

An operadic approach to substitution in Lie-Butcher series

“…produces the free post-Lie algebra [12,13,19,26,29]. For all τ 1 , τ 2 ∈ PT , the commutator τ 1 , τ 2 := τ 1 ⊲ τ 2 − τ 2 ⊲ τ 1 + [τ 1 , τ 2 ] satisfies the Jacobi identity.…”

“…Proof. In proposition 4.3, we recovered the combinatorial description of the post-Lie operad from [29].…”