A proof of the Kepler conjecture

Hales, Thomas C.

doi:10.4007/annals.2005.162.1065

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“…Specifically, we considered size ratios 2, 3 and 4, and for each s we explored several values of the exponents with n 1 ∈ [1, 50] and n 2 ∈ [1,7]. This combination of exponents was selected in an attempt to find a set of parameters that are compatible to those of the Hertzian system in its most interesting region of the phase diagram, i.e.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Packing of Soft Asymmetric Dumbbells

2010

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We use numerical simulations to study the phase behavior of a system of purely repulsive soft dumbbells as a function of size ratio of the two components and their relative degree of deformability. We find a plethora of different phases which includes most of the mesophases observed in self-assembly of block copolymers, but also crystalline structures formed by asymmetric, hard binary mixtures. Our results detail the phenomenological behavior of these systems when softness is introduced in terms of two different classes of inter-particle interactions: (a) the elastic Hertz potential, that has a finite energy cost for complete overlap of any two components, and (b) a generic power-law repulsion with tunable exponent. We discuss how simple geometric arguments can be used to account for the large structural variety observed in these systems, and detail the similarities and differences in the phase behavior for the two classes of potentials under consideration.

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Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Packing of Soft Asymmetric Dumbbells

2010

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“…The established value is about 13.5% lower than the corresponding one for regular packings of non-overlapping hard spheres (<p reg ~ 0.7404). The later value, initially conjectured by Kepler and proven recently by Hales (Hales, 2005;Hales et al, 2010), corresponds to the packing density of the face-centered cubic (fee) lattice. While no such proof exists for the corresponding densest limit of random sphere packings the concept of the maximally random jammed (MRJ) state provides a precise mathematical and geometrical definition of the aforementioned state (Donev et al, 2005a(Donev et al, , 2005bTorquato et al, 2000).…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Monte Carlo simulations of densely-packed athermal polymers in the bulk and under confinement

Foteinopoulou

Karayiannis

Laso

2015

Chemical Engineering Science

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HIGHLIGHTS• Identification of the maximally random jammed state for polymer packings.• Molecular simulation of the phase transition in hard-sphere chains.• Molecular modelling of the effect of confinement in densely-packed athermal polymers.• Numerical calculation of the topological constraints in polymeric systems.• First-principles calculation of the scaling regimes in flexible polymers. ABSTRACTWe review the main results from extensive Monte Carlo (MC) simulations on athermal polymer packings in the bulk and under confinement. By employing the simplest possible model of excluded volume, macromolecules are represented as freely-jointed chains of hard spheres of uniform size. Simulations are carried out in a wide concentration range: from very dilute up to very high volume fractions, reaching the maximally random jammed (MRJ) state. We study how factors like chain length, volume fraction and flexibility of bond lengths affect the structure, shape and size of polymers, their packing efficiency and their phase behaviour (disorder-order transition). In addition, we observe how these properties are affected by confinement realized by fiat, impenetrable walls in one dimension. Finally, by mapping the parent polymer chains to primitive paths through direct geometrical algorithms, we analyse the characteristics of the entanglement network as a function of packing density.

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“…Observa-se também que as densidades de empacotamento obtidas para cada classe apresentam valores sempre menores que 0,450. Este valor pode ser considerado baixo, sabendo-se que a máxima densidade de empacotamento que se atinge em misturas com grãos uniformes é igual a 0,740, conforme proposto pelo matemático alemão Johannes Kepler no século XVII, problema este comprovado numericamente apenas no início do século XXI [25]. Esta densidade de empacotamento máxima é alcançada considerando o empacotamento de uma rede cúbica de face centrada de partículas perfeitamente esféricas, onde cada partícula foi posicionada no sistema uma a uma.…”

Section: Materiaisunclassified

Determinação da densidade de empacotamento de sistemas granulares compostos a partir da areia normal do IPT: comparação entre modelos de otimização de distribuição granulométrica e composições aleatórias

et al. 2017

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Determinação da densidade de empacotamento de sistemas granulares compostos a partir da areia normal do IPT: comparação entre modelos de otimização de distribuição granulométrica e composições aleatórias (Determination of the particle packing of granular systems composed with the Brazilian standard sand from IPT: comparison between models for particle size distribution optimization and random compositions) Américas, Curitiba, PR 81531-980 carolinalondero7@gmail.com, lenzlauri@hotmail.com, icaro.santos@cimentoitambe.com.br, nayaraklein@ufpr.br Resumo O empacotamento de partículas em concretos e argamassas adquire cada dia mais importância no âmbito técnico, uma vez que muitas das propriedades dos materiais compósitos são influenciadas pelo índice de vazios e concentração de sólidos. Este trabalho teve o objetivo de comparar a densidade de empacotamento de agregados miúdos, cujas curvas granulométricas foram obtidas pelo uso de diferentes modelos de empacotamento de partículas. A areia normal brasileira, fornecida pelo IPT, foi utilizada para verificação experimental dos resultados teóricos obtidos pelo uso dos modelos. As densidades de empacotamento das curvas granulométricas foram calculadas através do modelo de empacotamento CPM (do inglês, compressible packing model). A máxima densidade de empacotamento foi buscada pelo uso de modelos de empacotamento que resultam em uma curva granulométrica ideal, fazendo-se valer de ensaios preliminares que indicavam uma maior densidade de empacotamento na fração grossa da areia, de 1,2 mm. Desta forma, além das curvas granulométricas ideais, fez-se também um estudo com composições aleatórias onde houve aumento progressivo de 5% na fração grossa da areia com a devida compensação nas frações mais finas. Utilizou-se, como referência, a curva granulométrica que representa a média dos limites inferior e superior da zona ótima recomendada pela norma NBR 7211. Os resultados obtidos mostraram que é possível aumentar a densidade de empacotamento através do uso de modelos de empacotamento de partículas e composições aleatórias, com relação à curva média da norma. Esse aumento foi da ordem de 2% e 5% para as densidades de empacotamento real e virtual, respectivamente. A verificação experimental dos resultados teóricos demonstrou que o modelo CPM infravalorou a densidade de empacotamento em aproximadamente 10%. Palavras-chave: empacotamento de partículas, modelos de empacotamento, granulometria, areia normal do IPT. Abstract The study of particle packing in concretes and mortars is becoming more and more important in the technical field, since the properties of the composite materials are influenced by both the voids index and the solid concentration. This paper aimed to compare the packing density of fine aggregates, whose grading curves were obtained by the use of different particle packing models. The Brazilian standard sand, provided by IPT, was used for the experimental validation of the theoretical results obtained by the use of the models. The packing densities of the gradi...

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A proof of the Kepler conjecture

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Packing of Soft Asymmetric Dumbbells

Packing of Soft Asymmetric Dumbbells

Monte Carlo simulations of densely-packed athermal polymers in the bulk and under confinement

Determinação da densidade de empacotamento de sistemas granulares compostos a partir da areia normal do IPT: comparação entre modelos de otimização de distribuição granulométrica e composições aleatórias

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