A review of error estimation in adaptive quadrature

Gonnet, Pedro

doi:10.1145/2333112.2333117

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“…In other words, the algorithm based on (2.5) for computing the integral (2.1) will be, in general, as reliable as the adaptive quadrature used. The problem of reliability of adaptive quadratures was thoroughly discussed in [6] and [7].…”

Section: A Very Short Story On Adaptive Quadraturesmentioning

confidence: 99%

Computing Cauchy principal value integrals using a standard adaptive quadrature

Keller

Wróbel

2016

Journal of Computational and Applied Mathematics

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We investigate the possibility of fast, accurate and reliable computation of the Cauchy principal value integrals − b a f (x)(x − τ ) −1 dx (a < τ < b) using standard adaptive quadratures. In order to properly control the error tolerance for the adaptive quadrature and to obtain a reliable estimation of the approximation error, we research the possible influence of roundoff errors on the computed result. As the numerical experiments confirm, the proposed method can successfully compete with other algorithms for computing such type integrals. Moreover, the presented method is very easy to implement on any system equipped with a reliable adaptive integration subroutine.

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Section: A Very Short Story On Adaptive Quadraturesmentioning

confidence: 99%

Computing Cauchy principal value integrals using a standard adaptive quadrature

Keller

Wróbel

2016

Journal of Computational and Applied Mathematics

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“…(3), aplicando integração numérica (Gonnet, 2012), cujo argumento de entrada é a função densidade de probabilidade da variável aleatória. b. Aleatoriamente, gera-se uma proposta inicial de solução.…”

Section: A Transformada Da Incerteza Puramente Numéricaunclassified

Transformada Da Incerteza Puramente Numérica Para O Mapeamento De Distribuições De Probabilidade

Brito¹,

Menezes²,

Rocha³

et al. 2015

Anais Do Congresso Nacional De Matemática Aplicada À Indústria

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Resumo: Neste trabalho, foi desenvolvida uma versão numérica da Transformada da Incerteza (expressão utilizada para denominar a Unscented Transform, cuja tradução livre é Transformada "Sem cheiro"). Na abordagem INTRODUÇÃOOs valores dos parâmetros de um modelo que mapeia variáveis de entrada para as correspondentes saídas, ou respostas, podem ser expressos deterministicamente, adotando-se um único valor fixo, um valor médio por exemplo, ou podem ser apresentados de forma estatística, caracterizadas por distribuições de probabilidade (Cacuci, 2003). No primeiro caso, apenas uma avaliação para se encontrar a relação entrada-saída é necessária, caso o próprio modelo seja determinístico. No segundo caso, uma quantidade considerável de avaliações da função de mapeamento entrada-saída é demandada. Geralmente, para se ter uma precisão adequada, é necessário um montante de dezenas ou centenas de milhares de execuções, de forma que, dadas as distribuições de probabilidade das variáveis de entrada, as distribuições de probabilidade das variáveis de saída do modelo possam ser estimadas. Há casos para os quais uma quantidade massiva de avaliações não tem um alto custo computacional, ao passo que, para outros, o custo de avaliação é proibitivo, quando uma quantidade considerável delas é necessária. Sendo assim, o desenvolvimento de métodos que proveem uma estimativa precisa, porém com menor esforço computacional, é imperativa nesses casos. A Transformada da Incerteza (Borges et al., 2008; Ihihara et al., 2013;Julier et al., 2004;Menezes et al., 2007;Menezes et al., 2010;Paredes et al., 2011;Paredes et al., 2010;Santos et al., 2009;Thomas et al., 2011), caracterizada pela discretização das distribuições contínuas das variáveis de entrada, associada a aproximações polinomiais aplicadas às funções de mapeamento entradasaída, se apresenta como uma ferramenta matemática de grande valia para este objetivo.

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“…As most methods, our refinement is based on an approximation error [6]. As illustrated on the 1D case in Figure 3.2, our error is estimated using three gradient interpolators inside each leaf: the first covers the whole leaf and the two others cover the two halves of the region.…”

Section: Convergence Criterionmentioning

confidence: 99%

“…6 give the values of the 6D vectors w and c used in our tests to define each of the ten particular functions of each family of functions f 1 to f 6 . Algorithm 1 Top-level integration routine, computes an estimate < I > of I, and the size of the 95%-confidence interval w C of this estimate.…”

Section: Appendix a (W C) Values Used For The Genz Functionsmentioning

confidence: 99%

Globally Adaptive Control Variate for Robust Numerical Integration

Pajot¹,

Barthe²,

Paulin³

2014

SIAM J. Sci. Comput.

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Abstract. Many methods in computer graphics require the integration of functions on lowto-middle-dimensional spaces. However, no available method can handle all the possible integrands accurately and rapidly. This paper presents a robust numerical integration method, able to handle arbitrary non-singular scalar or vector-valued functions defined on low-to-middle-dimensional spaces. Our method combines control variate, globally adaptive subdivision and Monte-Carlo estimation to achieve fast and accurate computations of any non-singular integral. The runtime is linear with respect to standard deviation while standard Monte-Carlo methods are quadratic. We additionally show through numerical tests that our method is extremely stable from a computation time and memory footprint point-of-view, assessing its robustness. We demonstrate our method on a participating media voxelization application, which requires the computation of several millions integrals for complex media.

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A review of error estimation in adaptive quadrature

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Computing Cauchy principal value integrals using a standard adaptive quadrature

Computing Cauchy principal value integrals using a standard adaptive quadrature

Transformada Da Incerteza Puramente Numérica Para O Mapeamento De Distribuições De Probabilidade

Globally Adaptive Control Variate for Robust Numerical Integration

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