A uniform bound for the order of monodromy

Umezaki, Naoya

doi:10.4310/mrl.2016.v23.n3.a16

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“…Remark 2.4. -For smooth, projective, geometrically connected X η /η, explicit uniform bounds for the index of I 1 in I for the action of I on H i (Xη, Q ) in terms of the Betti numbers of X η and numerical invariants associated with a very ample line bundle on X η were obtained by Umezaki [75].…”

Section: The Geometric Local Monodromy Theoremmentioning

confidence: 99%

Grothendieck and vanishing cycles

Illusie¹

2021

Annales De La Faculté Des Sciences De Toulouse : Mathématiques

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L'accès aux articles de la revue « Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques » (http://afst.centre-mersenne.org/) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://afst.centre-mersenne.org/legal/). Les articles sont publiés sous la license CC-BY 4.0. Annales de la faculté des sciences de Toulouse Volume XXX, n o 1, 2021 pp. 83-115Grothendieck and vanishing cycles ( * ) Luc Illusie (1) To the memory of Michel RaynaudABSTRACT. -This is a survey of classical results of Grothendieck on vanishing cycles, such as the local monodromy theorem and his monodromy pairing for abelian varieties over local fields ([22, IX]). We discuss related current developments and questions. At the end, we include the proof of an unpublished result of Gabber giving a refined bound for the exponent of unipotence of the local monodromy for torsion coefficients.RÉSUMÉ. -Le présent texte est un exposé de résultats classiques de Grothendieck sur les cycles évanescents, tels que le théorème de monodromie locale et l'accouplement de monodromie pour les variétés abéliennes sur les corps locaux ([22, IX]). Nous présentons quelques développements récents et questions qui y sont liés. La dernière section est consacrée à la démonstration d'un résultat inédit de Gabber donnant une borne raffinée pour l'exposant d'unipotence de la monodromie locale pour des coefficients de torsion.Grothendieck's first mention of vanishing cycles is in a letter to Serre, dated Oct. 30, 1964 ([15, p. 214]). He considers a regular, proper, and flat curve X over a strictly local trait S = (S, s, η), whose generic fiber is smooth and whose reduced special fiber is a divisor with normal crossings. He analyses the difference between the (étale) cohomology of the special fiber H * (X s ) and that of the generic geometric fiber H * (Xη), the coefficients ring being Z , a prime number invertible on S. A little more precisely, assuming that (*) Reçu le 12 octobre 2018, accepté le 27 mai 2019.

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Section: The Geometric Local Monodromy Theoremmentioning

confidence: 99%

Grothendieck and vanishing cycles

Illusie¹

2021

Annales De La Faculté Des Sciences De Toulouse : Mathématiques

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“…Le résultat de P. Deligne [Ber97, 6.3.2] d’indépendance de dans le théorème de monodromie de Grothendieck est également un corollaire immédiat de 5.1, du moins pour un trait excellent. Pour des précisions numériques dans cette direction, voir [Ume16].…”

Section: Applicationsunclassified

Constructibilité et modération uniformes en cohomologie étale

Orgogozo¹

2019

Compositio Math.

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Soient un schéma noethérien et ∶ → un morphisme propre. D'après SGA 4 XIV, pour tout faisceau constructible ℱ de ℤ/ ℤ-modules sur , les faisceaux de ℤ/ ℤ-modules ⋆ ℱ , obtenus par image directe (pour la topologie étale), sont également constructibles : il existe une stratification de telle que ces faisceaux soient localement constants constructibles sur les strates. À la suite de travaux de N. Katz et G. Laumon, ou L. Illusie, dans le cas particulier où est génériquement de caractéristique nulle ou bien les faisceaux ℱ sont constants (de torsion inversible sur ), on étudie ici la dépendance de en ℱ . On montre qu'une condition naturelle de constructibilité et modération « uniforme » satisfaite par les faisceaux constants, introduite par O. Gabber, est stable par les foncteurs ⋆ . Si n'est pas supposé propre, ce résultat subsiste sous réserve de modération à l'infini, relativement à . On démontre aussi l'existence de bornes uniformes sur les nombres de Betti, qui s'appliquent notamment pour les fibres des faisceaux ⋆ ℓ , où ℓ parcourt les nombres premiers inversibles sur .Abstract. Let be a Noetherian scheme and ∶ → a proper morphism. By SGA 4 XIV, for any constructible sheaf ℱ of ℤ/ ℤ-modules on , the sheaves of ℤ/ ℤ-modules ⋆ ℱ obtained by direct image (for the étale topology) are themselves constructible, that is, there is a stratification of on whose strata these sheaves are locally constant constructible. After previous work of N. Katz and G. Laumon, or L. Illusie, on the special case in which is generically of characteristic zero or the sheaves ℱ are constant (with invertible torsion on ), here we study the dependency of on ℱ . We show that a natural "uniform" tameness and constructibility condition satisfied by constant sheaves, which was introduced by O. Gabber, is stable under the functors ⋆ . If is not proper, this result still holds assuming tameness at infinity, relative to . We also prove the existence of uniform bounds on Betti numbers, in particular for the stalks of the sheaves ⋆ ℓ , where ℓ ranges through all prime numbers invertible on .

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A uniform bound for the order of monodromy

Abstract: Abstract. We give a bound for the order of the local monodromy of a compatible system of l-adic representations, which is independent of l. For the etale cohomology of a variety, the bound depends only on some numerical invariants of varieties.

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Grothendieck and vanishing cycles

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Constructibilité et modération uniformes en cohomologie étale

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