A wavelet domain numerical method for the prediction of transient dynamic response in composite structures with a focus on wave propagation

Abstract

Κύριος στόχος της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η ανάπτυξη μιας αριθμητικής μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων κυματιδίων για την προσομοίωση της μεταβατικής δυναμικής απόκρισης σε κατασκευές από σύνθετα υλικά με έμφαση στην κυματική διάδοση. Μία αποτελεσματική αριθμητική μέθοδος, βασιζόμενη στη θεωρία κυματιδίων αναπτύσσεται και περιγράφεται για την προσομοίωση της μεταβατικής δυναμικής απόκρισης. Η μέθοδος αναπτύσσεται για όλο το εύρος των βασικών στοιχείων που χρησιμοποιούνται για ανάλυση κατασκευών και εκτείνεται από απλά μονοδιάστατα στοιχεία ράβδου έως δισδιάστατα ειδικά στοιχεία πλάκας για τον υπολογισμό υψίσυχνων φαινομένων σε διατομές τύπου σάντουιτς. Η προτεινόμενη μέθοδος συνδυάζει τα κυματίδια της οικογένειας Daubechies ως συναρτήσεις βάσης και την προσέγγιση τύπου Galerkin για τον υπολογισμό των μετατοπίσεων στο επίπεδο.Εξετάζεται περαιτέρω η ορθογωνιότητα και το συμπαγές πεδίο ορισμού των wavelet και scaling συναρτήσεων για την παραγωγή διαγώνιων ή σχεδόν διαγώνιων συνεπών μητρώων μάζας και αραιών μητρώων δυσκαμψίας. Ως εκ τούτου, ένα μη συζευγμένο ισοδύναμο διακριτό δυναμικό σύστημα στο χώρο διαμορφώνεται, συντίθεται και επιλύεται γρήγορα στο πεδίο κυματιδίων με τη χρήση της άμεσης χρονικής ολοκλήρωσης. Η μέθοδος κυματιδίων συνδυάζεται περαιτέρω με την ανάπτυξη θεωριών που εμπεριέχουν υψηλής τάξης όρους και αφορούν στοιχεία δοκού και πλάκας και σαν αποτέλεσμα αναπτύσσονται καινοτόμα στοιχεία κυματιδίων για την ακριβή πρόβλεψη συμμετρικών και αντισυμμετρικών μορφών κύματος. Επιπροσθέτως, οι αναπτυσσόμενες θεωρίες επεκτείνονται σε πολυστρωματικές για την ακριβή πρόβλεψη δυναμικών φαινομένων, ακόμη και σε δομές με υψηλή ετερογένεια οι οποίες είναι κρίσιμες κυρίως για προβλήματα ελέγχου δομικής ακεραιότητας. Εξετάζονται διάφορες περιπτώσεις κυματικής διάδοσης και τα αριθμητικά αποτελέσματα που παρουσιάζονται συγκρίνονται με μοντέλα αναλυτικών, ημι-αναλυτικών, πεπερασμένων στοιχείων και φασματικών στοιχείων στο πεδίο του χρόνου. Η προτεινόμενη μέθοδος φαίνεται να αποδίδει υψηλότερα ποσοστά σύγκλισης άρα και σημαντικές μειώσεις στους απαιτούμενους υπολογιστικούς πόρους, συγκριτικά με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων και με τις αντίστοιχες μεθόδους φασματικών στοιχείων στο πεδίο του χρόνου. Τα υπολογιστικά κέρδη ποσοτικοποιούνται με βάση τον αριθμό των κόμβων που απαιτούνται για τον υπολογισμό μιας λύσης που έχει συγκλίνει.Τέλος ερευνάται και παρουσιάζεται μια σημαντική βελτίωση της προτεινόμενης μεθόδου, η οποία προκύπτει από την ιδιότητα πολλαπλών κλιμάκων ανάλυσης. Πρωτοποριακά στοιχεία πολλαπλών κλιμάκων, βασισμένα σε θεωρία κυματιδίων κατασκευάζονται με τη χρήση των κυματιδίων της οικογένειας Daubechies ως συναρτήσεις βάσης. Η μεταβατική απόκριση πλέον υπολογίζεται με ιεραρχικά σχήματα άμεσης χρονικής ολοκλήρωσης, τα οποία αποτελούνται από στοιχεία γενικής και λεπτομερής προσέγγισης και περιγράφονται διεξοδικά στην παρούσα διατριβή. Αναλύονται περιπτώσεις ομογενών, ανομοιογενών και περιοδικών δομών και επισημαίνεται η περαιτέρω μειωμένη υπολογιστική ισχύ που απαιτείται. Παρουσιάζεται επίσης η ιδιαίτερη συμβολή των στοιχείων λεπτομερής προσέγγισης στον εντοπισμό διεπιφανειών, ατελειών και στη διόρθωση της λύσης ειδικά σε αυτές τις περιοχές, γεγονός που αναδεικνύει την ανωτερότητα των κυματιδιακών στοιχείων πολλαπλών κλιμάκων συγκριτικά με όλες τις προαναφερθείσες αριθμητικές μεθόδους.