Abelsche Funktionen und Algebraische Geometrie

Abstract

Schon vor fUnf J ahren hatte ich mit meinem inzwischen verstorbenen Freunde FABIO CONFORTO (1909CONFORTO ( -1954 vereinbart, eine deutsche Bearbeitung seiner Vorlesungen uber ABELsche Funktionen *), die er im Studienjahr 1940/41 in Rom gehalten hat, herauszugeben. Da aber eine grundliche Oberarbeitung des aus dem Jahre 1942 stammenden Textes notwendig erschien, die CONFORTO selbst besorgen wollte**), wurde die Verwirklichung dieses Planes zunachst noch hinausgeschoben. Aber bald nach dem AbschluB des Vertrages mit dem Verleger wurde CONFORTO von einer unerbittlichen Krankheit befallen, die ihn innerhalb J ahresfrist zwang, die Feder fUr immer aus der Hand zu legen, noch beY~r er mit diesem Werk hatte beginnen k6nnen. So blieb mir dessen Gestaltung und Vollendung als Vermachtnis zuruck, das ich im Sinne und Geiste meines verstorbenen Freundes bestens durchzufUhren bestrebt war, urn so mehr, als ich damit hoffen durfte, eine wirkliche Lucke auszufUllen und den heute Lebenden eines der reizvollsten Gebiete der klassischen Mathematik naherzubringen, das seit dem Aussterben der alten Mathematikergeneration, zu der auch noch mein verehrter Lehrer W. WIRTINGER geh6rt hatte, beinahe vergessen worden ist.Dabei war ich glucklich, in A. ANDREOTTI und M. ROSATI zwei ausgezeichnete Mitarbeiter zu finden, die als ehemalige Schuler CONFORTOs sehr gut mit seinen Absichten und Planen vertraut waren und so entscheidend zuJ? Gelingen des Werkes beigetragen haben. Aus den letzten Jahren lag auch noch eine vervielfaltigte Vorlesung***) CONFORTOs vor, deren erstes Kapitel in das vorliegende Buch hineinverarbeitet werden konnte.Wenn es auch notwendig war, den Text aus dem Jahre 1942 sehr grundlich umzuarbeiten, so war doch unser vorzuglichstes Bestreben *) Es existiert eine nur mehr in wenigen Exemplaren vorhandene photomechanische Vervielfaltigung dieser Vorlesungen: CONFORTO, FABIO: Funzioni Abeliane e Matrici di RIEMANN. 304 S. Rom: Libreria dell'Universita 1942. **) DaB CONFORTO diese Absicht hatte, geht auch aus der folgenden Stelle seines Briefes an F. K. SCHMIDT yom 29. Dezember 1951 hervor: ,,10 mi propongo certamente di riscrivere tutto il testo ancora una volta ex-novo, usufruendo soltanto in piccola parte della mia redazione del 1942, la quale rimane tuttavia in certo senso come il nucleo, intorno al quale si sviluppa la nuova trattazione." ***) CONFORTO, FABIO:

Some special complex vector bundles over Jacobi varieties

“…It follows immediately from the fact that F acts as a group of transformations on ~ that (ST, z) = r (S, Tz) r (T, z) (1) for all S, TeF; and conversely any mapping ~: F x ~/~ ~* depending analytically on ze/f/ and satisfying (1) describes the action of F as a group of analytic bundle mappings on the product bundle ~ =/f/x ~ and hence also describes a complex analytic line bundle ~ =~/F over M. Such a mapping r F x AT/--~ C* will be called a factor of automorphy for the action of the group F on/17/. If ~, t/are complex analytic line bundles over M described by factors ofautomorphy ~: F x 1%71 __+ C*, t/: F x M ~ C*, then any complex analytic bundle mapping f: ~--~ t/ lifts to a complex analytic bundle mapping f: if/x C ~ AT/x ~ which must be of the form f(z, w)= (z, f(z) w) for some complex analytic mapping f: ~/--* C and which must commute with the appropriate actions of F, hence which must satisfy (2) for all TeF; and conversely any complex analytic mapping f: /~/-* satisfying (2) describes a complex analytic bundle mapping f: ~-* ~/.…”

On certain factors of automorphy for the modular group of degree n

“…'t ~-t and our theorem has been proved. The numbers ~" considered in the previous proof play an important role for the factors of automorphy and in connection herewith in the theory of automorphic functions [1,3,4,5,9,10].…”

Zur Theorie der Hilbert-Siegelschen Modulfunktionen

“…M ~ statt M mit passenden U, V E t9 (n, ¢~). Dann folgt a = fl = 1, also (27) 0<h11, h~ hll (t,~= 1 ..... 2n). …”

“…Die Ungleichungen (27), (28) : F(n, a)] < ~ sind die Nenner samtlicher Matrizen /V C T ~ A (n, a) unabh~ngig yon iv beschr~nkt, ttilfssatz 9 ist bewiesen. tlilfssatz 10.…”