About one algorithm for the numerical solution of the system of the two parabolic equations of the special type

Abstract

1 Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9 2 Всероссийский исследовательский институт защиты растений (ВИЗР), Российская Федерация, 196608, Пушкин, шоссе Подбельского, 3 3 Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Российская Федерация, 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29 В работе приводится алгоритм численного решения системы двух параболических урав-нений специального вида и доказывается его устойчивость. Даются оценки полученных чис-ленных решений. Определяются условия, гарантирующие применимость процедур прогонки и дается оценка на шаг дискретизации по времени, при котором итерационный процесс имеет внутреннюю сходимость. Приводится пример использования алгоритма в почвоведении. Биб-лиогр. 10 назв. Ил. 2.Ключевые слова: метод прогонки, итерационные процедуры, весовой коэффициент, моно-тонность, почвоведение.1. Введение. Рассматривается система дифференциальных уравнений в част-ных производных параболического типа в прямоугольной области. Коэффициенты, входящие в эту систему уравнений, зависят от искомых переменных, поэтому данная система дифференциальных уравнений является квазилинейной. Нахождение ана-литических решений таких систем даже в прямоугольной области возможно лишь в некоторых частных случаях, поэтому в работе использовался традиционный чис-ленный метод конечных разностей (см., например, [1]), дополняемый итерационным процессом. Численному решению параболических уравнений уделялось достаточно много внимания [2,3], однако практически не рассматривались системы параболиче-ских уравнений, которые получили распространение в связи с задачами, возникаю-щими в почвоведении и геологии [4, 5]. Решение этих задач требует также высокой точности численных решений. В работе предлагается способ аппроксимации произ-водной первого порядка, что позволяет построить схему второго порядка точности по переменным, входящим в данную систему, и получить оценки решений системы, а также разрабатывается метод матричной прогонки. Расчетный профиль разбивался на N слоев с толщиной h i , причем h i не обязательно одинаковы, а временной проме-жуток -на периоды длительностью τ . Тогда систему дифференциальных уравнений возможно аппроксимировать дискретным аналогом по конечно-разностной схеме с весами [3].2. Основные понятия и обозначения. Построение расчетной схемы. Дана система двух параболических уравнений специального вида с неизвестными функци-ями P (x, t), C T (x, t) от пространственной переменной x и временной переменной t μ(P )(1) * Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 16-04-01473-a).