Accurate integration of geostationary orbits with Burdet's focal elements

Keplerian motion and gyration

“…This is due to the fact that the frequency of the oscillations is an a priori constant which does not depend on the initial conditions. We point out that Burdet's original equations are stable in a more restricted sense since the frequency of his oscillators is a function of p*, as pointed out by Flury and Janin (1975). The time Equation (8.2) is not yet stable but it will be stabilized later on.…”

“…In unperturbed motion the solution of Equations (7.2), (11) is a linear oscillation, hence, a set of elements can readily be introduced. A set of what Burdet called focal elements has been applied by Flury and Janin (1975) for integrating geostationary orbits. Focal elements represent a uniformly valid set of orbital elements, since they apply for elliptical, parabolic and hyperbolic motion.…”

Advanced orbit propagation methods applied to asteroids and space debris

“…The importance of this type of formulation in the computation of ephemerides for artificial satellites was soon realized, e.g. in the integration of geostationary orbits by Flury and Janin [40]. Stiefel and Scheifele [91] also obtained a set of non-singular orbital elements derived from the K-S formulation.…”

Sobre la definición y construcción sistemática de variables canónicas de tipo focal: Aplicación a sistemas keplerianos perturbados

“…Partiendo de las consideraciones efectuadas por Burdet (1967) [26] en relación con el conjunto redundante constituido por sus elementos focales, Flury y Janin (1975) [57] presentan expresiones que relacionan a dichos elementos con los vectores posición y velocidad del móvil, y con los elementos orbitales keplerianos clásicos; asimismo, con vistas a la formulación de problemas de valores iniciales a partir de las ecuaciones de Gauss que gobiernan las variaciones de los elementos focales debidas a perturbaciones, proponen fórmulas para las condiciones iniciales de los elementos focales, y aplican sus planteamientos al caso deórbitas de satélites geoestacionarios.…”

“…Los elementos focales están bien definidos para pequeños valores de la excentricidad y de la inclinación, y no introducen singularidades ni indeterminaciones en las ecuaciones diferenciales que describen su comportamiento frente a perturbaciones. Aunque estos autores sólo utilizan esta clase de elementos paraórbitas de tipo elíptico, subrayan (en línea con algunos comentarios anteriores de Burdet -(1969), [28] §3, p. 77-acerca de dichos elementos, que gozan de propiedades geométricas y mecánicas comunes a todos los tipos deórbitas keplerianas, incluyendo casos degenerados) que los mismos permiten una "transición suave" entre el movimiento elíptico y los movimientos parabólico e hiperbólico; Flury y Janin ((1975) [57] §1, p. 495) formalizan esta circunstancia afirmando que "los elementos focales constituyen un conjunto uniformemente válido de elementos orbitales. Elúnico tipo de movimiento para cuya descripción caen en defecto es el movimiento rectilíneo".…”