Affine Schur-Weyl duality and Weyl modules

Abstract

Seja g = sl n+1 a álgebra de Lie das matrizes (n+1)×(n+1) de traço nulo. A dualidade de Schur-Weyl é um resultado clássico que estabelece uma equivalência de categorias entre aquela dos módulos de dimensão finita do grupo simétrico S ℓ e uma certa categoria de representações de g, se ℓ ≤ n. No artigo [17] de Chari e Pressley, uma versão análoga deste resultado foi estabelecida com a correspondente álgebra de Hecke afim H ℓ (q 2 ) no lugar de S ℓ e a álgebra afim quantizada U q (ĝ ′ ) no lugar de g, onde o parâmetro de quantização q não é uma raiz da unidade e ĝ′ denota a álgebra de Lie afim obtida da álgebra de laços de g através da extensão central 1-dimensional. Em particular, os autores afirmaram que um esquema de demonstração análogo deveria prover uma outra versão da dualidade de Schur-Weyl, a qual denominamos aqui por dualidade afim de Schur-Weyl, com o grupo simétrico afim extendido Sℓ no lugar de S ℓ e a álgebra de Lie afim ĝ′ no lugar de g. Levar a cabo este esquema de maneira completa, obtendo assim todos os resultados análogos aos de [17] no contexto de Sℓ -módulos e ĝ′ -módulos, é o primeiro objetivo do presente trabalho. Indo além dos resultados de [17], iniciamos também uma investigação na direção de obter descrições dos Sℓ -módulos correspondentes, por meio da dualidade afim de Schur-Weyl, aos chamados módulos de Weyl locais, objetos de alta relevância no estudo das representações de dimensão finita de ĝ′ que não haviam sido introduzidos na literatura ainda na época em que [17] foi publicado.