Algebraic Multigrid Method with adaptive smoothers based on Chebyshev polynomials

Abstract

Жуков В.Т., Краснов М.М., Новикова Н.Д., Феодоритова О.Б. Алгебраический многосеточный метод c адаптивными сглаживателями на основе многочленов Чебышева Для численного решения трехмерных эллиптических уравнений построен адаптивный алгебраический многосеточный метод (АММ). Новым элементом является объединение техники АММ с потенциалом сглаживателей на основе оптимальных многочленов Чебышева. Показаны возможности автоматической адаптации сглаживателей к границам дискретных операторов. Обсуждаются свойства двух сглаживателей чебышевского типа -полинома и рациональной функции; приводятся результаты экспериментальной проверки АММ. Эффективная реализация сглаживателей и процедуры решения уравнений на самом грубом дискретном уровне с помощью явно-итерационных чебышевских алгоритмов обеспечивает возможность функционирования параллельного кода на современных суперкомпьютерных архитектурах. We introduce an adaptive algebraic multigrid method (AMG) for numerical solution of three-dimensional elliptic equations. A new element is the integration of AMG technique with the smoothers based on optimal Chebyshev polynomials. The possibilities of automatic adaptation of smoothers to the bounds of the АMG discrete operators are shown. The properties of two smoothers, the polynomial and the rational function, are discussed. The results of experimental verification of the AMG are given. Effective implementation of the smoothers and solver for the coarsest equations with the help of Chebyshev explicit-iterative algorithms enables the functioning of the parallel code on modern supercomputer architectures.Key words: elliptic equations, algebraic multigrid method, Chebyshev polynomials, adaptive smoother Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 14-21-00025)

On Development of Parallel Algorithms for Solving Parabolic and Elliptic Equations

“…(see [14]); here S p is the smoothing operator with the number of pre-and post-smoothing steps equal to p. For smoothing, we use adaptive smoothers of the Chebyshev type, which have been successfully used for geometric multigrid method for solving problems for stationary elliptic and evolutionary parabolic equations. The results related to AMM can be found in [17].…”

“…The following important inequality holds: We provide a graphic presentation of the structure of the approximation error for the LI-M scheme. The formula (17) shows that the grid error is a linear combination of the errors of the explicit and implicit schemes with operator weights. Figure 2 shows the spectra of the weight factor for p = 5.…”

“…The development of adaptive smoothers allows us to use algebraic multigrid method whose algorithm was briefly presented in Sec. 5 and results presented in [17]. In the LI-M scheme, as was mentioned, there are no tuning parameters.…”