Algoritmos de Altas Prestaciones para el Cálculo de la Descomposición en Valores Singulares y su Aplicación a la Reducción de Modelos de Sistemas Lineales de Control

Abstract

T O calculate the singular value decomposition (SVD) of a real dense matrix, traditional methods start by reducing the initial matrix to a bidiagonal form, and then, calculate the SVD of the bidiagonal matrix.The process of reducing the initial matrix to bidiagonal form is known as the bidiagonalization method, which generally consists of applying successive Householder transformations from the left and right of the matrix. Since the re ‡ectors are applied on both sides of the matrix, this has a negative impact on the communication overheads of a parallel implementation for distributed memory systems.Ralha and Barlow have proposed two new methods for the reduction of dense matrices to bidiagonal form in which the Householder transformations are applied only on the right side of the matrix. This allows to de…ne all operations in terms of full columns of the matrix under transformation. Therefore, these methods are more attractive for distributed memory systems than the standard vii

Aplicación de la descomposición de valores singulares a un sistema de recuperación de información

“…A partir de la revisión en la literatura se descubrió que existen distintos métodos para la bidiagonalización de una matriz, los más tradicionales utilizan las transformaciones de Householder por la izquierda y por la derecha de la matriz [6], [9], [10]. Estudios realizados demuestran que estos presentan dos desventajas: cuando las matrices son de grandes dimensiones requieren tiempos de computación elevados y además repercuten negativamente en los costos de comunicación de una implementación paralela del algoritmo en sistemas de memoria distribuida [11], [12]. De hecho, según Ltaief [8], el número total de operaciones para dicho algoritmo sea 8/3 n 3 , siendo n previsible de varios miles.…”

“…Posteriormente Da Silva Sanches de Campos [12] presenta una mejora al método de Barlow con el objetivo de reducir el número de comunicaciones necesarias para una implementación paralela destinada a sistemas de memoria distribuida.…”

“…El método de bidiagonalización suele ser altamente paralelizable debido a las operaciones que utiliza en el proceso [15]. Vale mencionar que la correcta ejecución de algoritmos paralelos depende fuertemente de que los tamaños de las matrices se adapten a las capacidades de la máquina donde estos se ejecutan, por lo que, en matrices arquitectura homogénea basada en CPU [12]; se han experimentado algoritmos en mosaico con distinta cantidad de nodos multinúcleo de un sistema de memoria compartida distribuida en paralelo [8], [16]. Otros han buscado aprovechar la capacidad que ofrecen las Unidades de Procesamiento Gráfico (GPU) y experimentaron su uso aplicando algoritmos en arquitecturas tanto homogéneas [17], [18] como también heterogéneas en las que se combinan el uso de CPU con GPU [19].…”