An Introduction to Gödel's Theorems

Abstract

we go along, when needed? Similarly we will also need to call upon some ideas from the general theory of computation -for example, we will make use of both the notion of a 'primitive recursive function' and the more general notion of a 'recursive function'. Again, do we explain these together? Or do we give the explanations many chapters apart, when the respective notions first get used? I've mostly adopted the second policy, introducing new ideas as and when needed. This has its costs, but I think that there is a major compensating benefit, namely that the way the book is organized makes it clearer just what depends on what. It also reflects something of the historical order in which ideas emerged.Many thanks are due to generations of students and to

Counterpossibles in Science: The Case of Relative Computability

“…This is assuming, perhaps contrary to Smith (, §35), Sieg (), and Kripke (), that the Church‐Turing thesis isn't a conceptual truth. If you disagree, then so much the worse for the present proposal on behalf of the orthodoxy.…”

The Scope of Gödel’s First Incompleteness Theorem

“…Then F proves a false Π 1 -sentence ∀xϕ(x) whose negation ∃x¬ϕ(x) must be true and, by assumption of Σ 1 -completeness, formally provable in F , rendering F inconsistent. For how this result might bear on Hilbert's Program see [172], ch. 28, esp.…”

Grenzen der Mathematik

“…Ausführlich ausgearbeitet ist er beispielsweise in [178]. Sein Beweis ist sehr technisch, und selbst Gödel hat ihn in seiner Arbeit nur skizzenhaft angedeutet.…”

“…Wir wollen die formalen Details an dieser Stelle überspringen und verweisen als Ersatz auf die ausführliche Darstellung in [178]. Wir wollen die formalen Details an dieser Stelle überspringen und verweisen als Ersatz auf die ausführliche Darstellung in [178].…”

“…Aus diesem Grund werden wir jetzt einen Ansatz verfolgen, der sich an den Darlegungen in[178] orientiert und aufgrund seines mathematischen Charakters für unsere Zwecke besser geeignet ist. Die Codierung ist jener in Gödels Originalarbeit sehr ähnlich.…”