Analogue of the identity Log Det =  Trace Log for resultants

Abstract

Like evaluation of Gaussian integrals is based on determinants, exact (non-perturbative) evaluation of non-Gaussian integrals is related to algebraic quantities called resultants. Resultant Rr 1 ,...,rn defines a condition of solvability for a system of n homogeneous polynomials of degrees r 1 , . . . , rn in n variables, just in the same way as determinant does for a system of linear equations. Because of this, resultants are important special functions of upcoming non-linear physics and begin to play a role in various topics related to string theory. Unfortunately, there is a lack of convenient formulas for resultants when the number of variables is large. To cure this problem, we generalize the well-known identity Log Det = Trace Log from determinants to resultants. The generalized identity allows to obtain explicit polynomial formulas for multidimensional resultants: for any number of variables, resultant is given by a Schur polynomial. We also give several integral representations for resultants, as well as a sum-over-paths representation.

Colored HOMFLY and generalized Mandelbrot set

“…If known, they make the theory of non-linear equations as transparent as it is for linear ones -and the study of resultants and discriminants is the main topic in non-linear algebra [18,[36][37][38][39][40][41][42]. The present knowledge, however, remains restricted -and the problem attracts much less attention and effort than it deserves.…”

Компланарт Систем Полиномиальных Уравнений

“…r i [2]. В некоторых частных случаях формула для V j1...j N может быть получена из простых соображе-ний [2], но сейчас мы рассмотрим общий метод ее вычисления, который исполь-зует формулу Пуассона для результанта (см., например, работы [1], [16]). Добавим к этой системе еще один однородный многочлен g(x) степени r от тех же переменных x 1 , .…”

“…Это соотношение есть R{A} = 0, где R{A} -многочлен от коэффициентов A, называемый результантом, или гипер-детерминантом, A. При s = 1, т. е. если A -линейное отображение, результант A равен определителю A. Результанты играют все возрастающую роль в современной математике и физике. Их определения и основные свойства изложены в работах [1], [2], [9]- [11], приложения в физике и инженерии -в работе [12], применения в теории струн -в статьях [13], [14], методы вычисления -в работах [15], [16]. Под невырож-денным отображением мы понимаем отображение с ненулевым результантом.…”

Результант Как Детерминант Комплекса Кошуля

“…Фактически, это соотношение -один из немногих надежных способов вычисления результантов, известных в насто-ящий момент. Некоторые другие способы вычисления результантов, без использо-вания комплексов, описаны в работах [11], [16]. Цель настоящей статьи -пояснить это соотношение на понятном и удобном с практической точки зрения языке, сде-лав изложение доступным для начинающих.…”

“…К счастью, есть несколько способов переписать пуассонову формулу произведе-ния так, чтобы она не содержала корней в явном виде. Такие формулировки [11], [16] более удобны в практических вычислениях.…”