Analysis of Possibilities of Algorithms’ Selection and Adaptation for Differential Dynamic Models’ Numerical Implementation

Abstract

Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 21 27 вихідну групу методів слід включати також багатокрокові методи-явні і типу «прогноз-корекція». Ключові слова: числові методи, математична модель, обчислювальний алгоритм, диференціальні рівняння. Вступ. На даний час числові методи обчислювальної математики проникають практично у всі сфери наукової та інженерної діяльності, а математичні моделі (ММ) стають основними засобами дослідження. Значення ММ безперервно зростає у зв'язку з оптимізацією технічних пристроїв та технологічних схем планування експерименту. При цьому реалізація ММ засобами обчислювальної техніки (ОТ) здійснюється за допомогою різних методів обчислювальної математики, яка безперервно удосконалюється. Мета чинної роботи полягає у розгляді, порівняльному аналізі та адаптації обчислювальних алгоритмів реалізації диференціальних динамічних моделей як частинної задачі застосування числових методів. Основна частина. Умови функціонування динамічних об'єктів жорстко визначають вимоги до швидкодії обчислювально-керуючих систем, які мають завжди обмежені ресурси, що свідчить про актуальність питання вибору числових методів інтегрування рівнянь динаміки об'єктів, що моделюються, при організації обчислювальних процесів. Аналіз властивостей методів наближеного розв'язування рівнянь динаміки. На даний час відома значна кількість методів числового розв'язування систем звичайних диференційних рівнянь (ЗДР) [1-5], основну частину яких можна розділити на три групи:  однокрокові методи типу Рунге-Кутта і ступеневі методи;  багатокрокові кінцево-різницеві методи (типу Мілна, Адамса);  гібридні методи (типу Батчера). Загальною властивістю цих методів є те, що всі вони будуються на основі розкладання шуканої функції в степеневий ряд, в якому зберігається (враховується) скінченна кількість членів. При цьому накладається умова-метод r-го порядку повинен давати точний розв'язок, якщо шукана функція являє собою поліном r-го ступеня. Ця умова, і той факт, що будь-яка функція, яка має достатню кількість похідних, може бути наближено замінена відповідним поліномом, визначають можливість побудови зазначених методів. Аналогічний підхід може бути здійснений і при використанні будь-якої повної системи функцій. Інший, досить загальний підхід до питання побудови числових методів розв'язування диференціальних рівнянь, полягає в заміні вихідної системи деякою іншою, розв'язання якої може бути здійснено досить просто із залученням аналітичних прийомів. Найбільш відомими з таких методів є так звані експоненційні [6], сутність яких по