Anwendung der Siebmethode auf einige Fragen der additiven Zahlentheorie. II

Abstract

Wir bezeichnen mit kleinen lateinischen Buchstaben nattirliche Zahlen, mit p eine Primzahl, mit {* : . .} bzw. A {* : --.} die Menge bzw. Anzahl der * mit den Eigenschaften . . . und mit C bzw. C(*) eine absolute positive bzw. eine nur von * abhangige positive Konstante. Die Konstante in O ( ) ist absolut.Dieser zweite Teil meiner Arbeit ist, wenn man von einigen Riickverweisen absieht, vom ersten Teil 1) weitgehend unabhiingig. Die Fragestellungen sind allerdings verwandt, und beiden Teilen ist gemeinsam, daB die Siebmethode das wichtigste methodische Hilfsmittel ist. Es geht im folgenden in der Hauptsache darum, die Anzahlfunktion A {* :a > gewisser Mengen, die sich als eine Art SCHNIRELMANNsche Summe von multiplikativ charakterisierten Zahlenmengen (wie Primzahlen und dergleichen) schreiben lassen, nach unten und oben abzuschatzen und dabei jeweils das bestmogliche Ergebnis beziiglich der GroBenordnung zu erzielen. So geht es in 9 1 um die Darstellung naturlicher Zahlen als Summe aus einer Primzahl und zwei kleinen Quadraten und entsprechende verbundene Darstellungen von d-Tupeln von Zahlen. I n 0 2 werden verbundene Darstellungen durch zwei Quadrate oder eine Primzahl und der k-ten Potenz einer kleinen Zahl behandelt. In 8 3 'beweisen wir zunachst Hilfssatz 3 und untersuchen dann verbundene Darstellungen durch zwei Quadrate oder eine Primzahl und der k-ten Potenz einer kleinen Primzahl. In 8 4 geht es schlieBlich um verbundene Darstellungen durch zwei Quadrate oder eine Primzahl und eine Potenz der festen natiirlichen Zahl a > 1.g 1. uber die Summe einer Primzahl und zwei kleinen Quadraten Satzl. Es sei Pi: = { p : p = I m o d 4 ) u n d D , : = { n : p l n -t p f P 1 } ; ferner sei F (z) fur eine grope positive t erklarte, positivwertige und monoton 1) Vgl. [4].