Application of Direct Trefftz-Kupradze Method in Hierarchical Capacitance Extraction Problem

Abstract

Artykuł prezentuje algorytm hierarchicznego szacowania pojemności resztkowych dla planarnych układów ścieŜek przewodzących. W pracy wykorzystano bezpośrednią metodę brzegową Trefftza-Kupradze. Wyprowadzono ją z odwrotnego sformułowania wariacyjnego co umoŜliwiło jej wspólny opis (dyskretyzacja brzegu, interpolacja funkcji pola i strumienia, tworzenie równań całkowo-brzegowych), a takŜe porównanie z powszechnie uŜywaną metodą elementów brzegowych. RozwaŜania ograniczono do zagadnień dwuwymiarowych, a geometria badanych struktur jest dyskretyzowana przy pomocy hierarchicznego podziału binarnego. Dla kaŜdego z podobszarów-liści, przy wykorzystaniu wybranej metody, tworzone są równania całkowo-brzegowe dla równania Laplace'a, z których uzyskuje się tzw. macierze pojemności brzegowych. W procesie hierarchicznego przechodzenia w górę binarnego drzewa podziału łączy się macierze pojemności brzegowych dla coraz to większych obszarów, aŜ do obszaru-korzenia odpowiadającego pojedynczej warstwie dielektryka, a następnie całej struktury. Łączenie to przeprowadza się przy pomocy dopełnienia Schura. Przekształcenie ostatecznej macierzy pojemności brzegowych pozwala uzyskać macierz pojemności wzajemnych układu przewodników. Binarny podział rozwaŜanych geometrii umoŜliwia stworzenie biblioteki macierzy pojemności brzegowych i wykorzystanie zapamię-tanych elementów w razie ich ponownego wystąpienia w strukturze w celu przyspieszenia działania algorytmu. Przy pomocy stworzonego algorytmu eksperymentalnie przebadano wpływ odległości odsuniętych węzłów kolokacji (charakterystycznych dla metody Trefftza-Kupradze) na uzyskiwane rezultaty, w wyniku czego ustalono quasi-optymalną wartość wykorzystywaną na dalszym etapie obliczeń. Otrzymane wyniki odniesiono do rozwiązań analitycznych oraz rezultatów obliczeń programu Linpar (metoda momentów).