Approximation diophantienne et distribution locale sur une surface torique

Abstract

Nous étudions dans ce texte l'approximation diophantienne et la distribution locale en un point rationnel sur une surface torique obtenue comme un éclatement de P 1 ×P 1 . Il s'avère qu'en dehors d'un fermé de Zariski les meilleures approximations s'obtiennent à l'aide d'une famille de courbes nodales. L'étude se ramène donc à la question de la distribution locale en un point quadratique sur la droite projective. AbstractIn this article we study Diophantine approximation and local distribution of a rational point on a toric surface obtained as a blow-up of P 1 × P 1 . It turns out that outside a Zariski closed subset the best approximations are achieved through a family of nodal curves. Hence the investigation is reduced to the question of local distribution of a quadratic point on the projective line.

Approximation diophantienne et distribution locale sur une surface torique II

“…Résultats principaux. -Suite aux travaux [18] et [19] qui démontrent la formule 1.3 pour la surface X 3 et 1.2 pour Y 4 respectivement, dans cet article on considère la surface torique Y 3 dont l'éventail est représenté au milieu de la Figure 1 suivante. Admettant P 2 et P 1 ×P 1 comme modèles minimaux, elle est une surface de del Pezzo généralisée (cf.…”

“…Théorème 2.3). Le premier type correspond à l'approximation d'un nombre quadratique et le travail [19] montre que le nombre des points rationnels entrant dans le zoom critique est faible et il n'existe pas de mesure décrivant la distribution locale (cf. Théorème 2.4).…”

“…prem ), nous obtenons une application rationnelle P 1 × P 1 Y 3 qui donne un paramétrage local des points rationnels sur Y 3 par les C a,b . L'idée clef ici est que plutôt que de dénombrer les points sur chaque courbe C a,b , c'est-à-dire fixer le coupe (a, b) en comptant (x, y), ce qui était la méthode adoptée dans [19], on compte directement les couples (a, b) × (x, y) et il se trouve que les (a, b) sont paramétrés par les (x, y) quand on restreigne à des équations de Pell-Fermat avec certaine condition de divisibilité que l'on précise tout de suite. Ce passage nous permet d'éliminer les paramètres (a, b).…”

“…Définition 2.1 (McKinnon-Roth, cf. aussi [19], Définition 2.2) Soit V une partie constructible de X. La constante d'approximation α(Q 0 , V ) est le supremum des δ > 0 tels que l'inégalité du type de Liouville suivante…”

“…En prenant le facteur de zoom r entre α et α ess , la forme de µ X,Q nous permet de récupérer plus d'informations qui sont «négligées» dans la considération (1.1). Voir des explications et des illustrations dans [19]. Nous espérons que les constantes α, α ess jouent un rôle tout comme les invariants de Fujita (les invariants α(L), t(L) dans [1, 2.1 & 3.12]) dans le programme de Batyrev-Manin-Peyre (Principe 1.1) (cf.…”