Aron–Berner extensions of triple maps with application to the bidual of Jordan Banach triple systems

Abstract

By extending the notion of Arens regularity of bilinear mappings, we say that a bounded trilinear map on Banach spaces is Aron-Berner regular when all its six Aron-Berner extensions to the bidual spaces coincide. We give some results on the Aron-Berner regularity of certain trilinear maps. We then focus on the bidual, E * * , of a Jordan Banach triple system (E, π), and investigate those conditions under which E * * is itself a Jordan Banach triple system under each of the Aron-Berner extensions of the triple product π. We also compare these six triple products with those arising from certain ultrafilters based on the ultrapower formulation of the principle of local reflexivity. In particular, we examine the Aron-Berner triple products on the bidual of a JB * -triple in relation with the so-called Dineen's theorem. Some illuminating examples are included and some questions are also left undecided.

Ternary weak amenability of the bidual of a JB $^{*}$ -triple

“…In this article, we will be dealing with the above-mentioned extension in various situations, especially π * * * * for the extension of the triple product π of a JB-triple system. However, in the most general setting, every such map f : X ×Y ×Z → W has six generally different extensions from X * * × Y * * × Z * * to W * * (see Aron and Berner [2]; more explicit properties of these extensions are investigated in the forthcoming work [16]).…”

On the properties of the Aron-Berner regularity of bounded tri-linear maps

“…Also the bounded tri-linear map f is said to be Aron-Berner regular when all natural extensions are equal, that is, f i * * * * i = f j * * * * j = f r * * * * r = f * * * * = f t * * * * s = f s * * * * t holds. For example in [6] it has been shown that the tri-linear map f : X × X × X −→ X defined by…”

Extensões biduais de operadores lineares e multilineares entre espaços de Riesz e reticulados de Banach

“…Como 𝐴 é Arens-regular, é bem conhecido que todas as extensões de Aron-Berner de 𝐴 coincidem e são separadamente 𝜔 * -𝜔 * -contínuas. Também é conhecido que, como todo operador linear contínuo de 𝐸 em 𝐹 é fracamente compacto, tais extensões são genuínas (para todas estas informações veja [15,51]). Aplicando a Proposição 5.1.7 concluímos que todas as extensões de Aron-Berner de 𝐴 são separadamente quase Dunford-Pettis.…”

“…A construção original de Arens para o caso bilinear, que depois foi generalizada para o caso multilinear por Aron e Berner, é a seguinte: dado um operador bilinear 𝐴 ∶ 𝑋 1 × 𝑋 2 ⟶ 𝑌 entre espaços de Banach, defina os seguintes operadores bilineares: 𝐴 * ∶ 𝑌 * × 𝑋 1 ⟶ 𝑋 * 2 , 𝐴 * (𝑦 * , 𝑥 1 )(𝑥 2 ) = 𝑦 * (𝐴(𝑥 1 , 𝑥 2 )), 𝐴 * * ∶ 𝑋 * * 2 × 𝑌 * ⟶ 𝑋 * 1 , 𝐴 * * (𝑥 * * 2 , 𝑦 * )(𝑥 1 ) = 𝑥 * * 2 (𝐴 * (𝑦 * , 𝑥 1 )) e 𝐴 * * * ∶ 𝑋 * 1 × 𝑋 * * 2 ⟶ 𝑌 * * , 𝐴 * * * (𝑥 * * 1 , 𝑥 * * 2 )(𝑦 * ) = 𝑥 * * 1 (𝐴 * * (𝑥 * * 2 , 𝑦 * )). É imediato que 𝐴 * * * é um operador bilinear que satisfaz a igualdade 𝐽 𝑌 •𝐴 = 𝐴 * * * •(𝐽 𝑋 1 , 𝐽 𝑋 2 ), isto é, 𝐴 * * * é uma extensão bidual de 𝐴. Desde então, 𝐴 * * * tem sido chamada de extensão de Arens de 𝐴 e fortemente estudada na teoria (veja, por exemplo, [15,20,21,22,51,74,75,80]). Seguindo a mesma técnica, define-se a extensão de Arens de um operador 𝑚-linear 𝐴, denotada por 𝐴 * (𝑚+1) , que também vem sendo muito estudada (veja, por exemplo [13,14,17,19,26,29,39,56]).…”

“…Por exemplo, o biadjunto 𝑇 * * de um operador linear fracamente compacto 𝑇 é uma extensão bidual genuína. Extensões de Aron-Berner genuínas de operadores multilineares têm sido estudadas na literatura, como por exemplo em[15,51]. Sejam 𝐸 1 , … , 𝐸 𝑚 reticulados de Banach tais que seus duais têm a propriedade positiva de Schur e 𝐹 um reticulado de Banach com norma ordem contínua.…”