Asymptotic Approximation of the Solution of the Reaction-Diffusion-Advection Equation with a Nonlinear Advective Term

Abstract

Аннотация. В работе рассматривается решение вида движущегося фронта начально-краевой задачи для сингулярно возмущенного уравнения реакция-диффузия-адвекция в полосе с периодическими условиями по одной из переменных. Особенностями настоящей работы является постановка задачи в двумерной области и наличие большого адвективного слагаемого в исходном уравнении. Интерес к решениям вида фронта связан с задачами горения или нелинейных акустических волн. В области определения функции, описывающей движущийся фронт, содержится подобласть, в которой функция обладает большим градиентом. Эта подобласть называется внутренним переходным слоем. Задачи с внутренними переходными слоями содержат естественный малый параметр, равный отношению ширины переходного слоя к ширине рассматриваемой области. Наличие малого параметра при старшей производной по пространственным координатам делает задачу сингулярно возмущенной. Численное решение таких задач встречает определенные сложности, связанные с выбором сеток и начальных условий. Для решения этих проблем наиболее успешным является использование аналитических методов. Асимптотический анализ с использованием алгоритма Васильевой, проведенный в настоящей работе, позволяет определить условия существования решения вида фронта, а также получить асимптотическое приближение решения, которое можно выбрать в качестве начального условия для численного алгоритма. Кроме того, аналитические методы, использованные в работе, позволяют выписать уравнение для кривой, в области которой локализован фронт. Эти сведения могут быть полезными для разработки математических моделей или численных алгоритмов для решения задач вида реакция-диффузияадвекция. Ключевые слова: задача реакция-диффузия-адвекция, двумерный движущийся фронт, внутренний переходный слой, асимптотическое представление, малый параметр

Asymptotic Expansion Regularization for Inverse Source Problems in Two-Dimensional Singularly Perturbed Nonlinear Parabolic PDEs

“…Thus, in the article [22], the authors describe the recent construction of an autowave model predicting the growth of the city of Shanghai in the near future. Problems with a solution in the form of a front on a segment are considered in [3,34], and the motion of a two-dimensional front is studied in [4,5,21,33].…”

Convergence analysis for forward and inverse problems in singularly perturbed time-dependent reaction-advection-diffusion equations

“…For partial differential equations with small parameters, e.g. the model (1) with small diffusion parameter µ, asymptotic methods are particularly attractive as such technique makes it possible to find the approximate solutions of singularly perturbed boundary value problems, and express these solutions in terms of known functions or quadratures from them, and also allows us to prove the existence and uniqueness of these solutions [29,30,31]. In particular, the closer the small parameter to zero, the more effective asymptotic methods, as the system becomes very difficult for the traditional numerical solution.…”