Asymptotic arbitrage in non-complete large financial markets

Abstract

Asymptotic arbitrage in non-complete large financial markets ASYMPTOTIC ARBITRAGE IN NON-COMPLETE LARGE FINANCIAL MARKETSЮ. M. Кабанов и Д. О. Крамков ввели понятие «больших финансовых рын ков». Вместо того, чтобы рассматривать -как это обычно делается в финан совой математике -некоторый случайный процесс S цен акций, заданный на фильтрованном вероятностном пространстве (Q,!F, (^)<g/, Р), они рассматрива ли последовательность (S")n^i таких процессов, заданную на последовательно сти (П" ,!F n , (J 7 ™)jg/n , Р")п>1 фильтрованных вероятностных пространств. Та кая модель оправдывается тем, что инвестор может делать вклады не на одной, а на нескольких фондовых биржах (в модели Кабанова и Крамкова -на счетном числе).Привычное понятие арбитража тогда можно интерпретировать с помощью понятий асимптотического арбитража, где важно различать между собой два ро да асимптотического арбитража, введенные Кабановым и Крамковым. В случае, когда для каждого п £ N рынок полон (т.е. существует единственная «локально мартингальная» мера Q n для процесса S" на Т п , эквивалентная Р"), Кабанов и Крамков показали, что контигуальность (Р")п>1 относительно (Q n )n^l (со ответственно, наоборот) эквивалентна отсутствию асимптотического арбитража первого (соответственно, второго) рода.В настоящей статье мы распространяем этот результат на случай неполного рынка, когда для каждого п £ N множество эквивалентных локально мартингаль ных мер непусто, но не обязательно одноэлементно. Возникает вопрос, можно ли перенести на этот случай теорему Кабанова и Крамкова, выбирая подходящую последовательность (Q n )n^l эквивалентных локально мартингальных мер.Оказывается, что в части, характеризующей асимптотический арбитраж пер вого рода, теорема может быть непосредственно перенесена на этот случай, однако в части, характеризующей асимптотический арбитраж второго рода, необходимы некоторые изменения. Мы также строим пример, показывающий, что этих изме нений нельзя избежать. Ключевыеслова и фразы: арбитраж, асимптотический арбитраж, контигу альность мер, эквивалентная мартингальная мера, «бесплатный завтрак», «бес платный завтрак с исчезающе малым риском», большие финансовые рынки. Introduction.In this paper we deal with arbitrage possibilities in a large financial market, a concept originally introduced by Kabanov and Kramkov, see [10]. Following these authors we define a large financial market to be a sequence of filtered probability spaces (Q n , T n , (^r")i£R+, P"). On each of these "small" spaces we can trade in d(n) securities, whose price processes are denoted by an R^^-valued [T? )-adapted semimartingale.We suppose that for each "small market" there exists a probability measure Q n on T n that is equivalent to the original measure P n , such that S n is a local Q"-martingale. So the difference between the two kinds of asymptotic arbitrage is that on one hand by risking nearly nothing we can become very rich but onfy^ on a set of positive probability, on the other hand we can win something, maybe very little, with very high probability, but there...

Asymptotic Arbitrage with Small Transaction Costs

“…It turns out that the results are analogous to the results in the case of no transaction costs, see [16] and [23]. Fix any sequence (λ n ) of real numbers 0 < λ n < 1.…”

“…We give characterizations of asymptotic arbitrage of the first and second kind and of strong asymptotic arbitrage for large financial markets with small proportional transaction costs λn on market n in terms of contiguity properties of sequences of equivalent probability measures induced by λn-consistent price systems. These results are analogous to the frictionless case, compare [16], [23]. Our setting is simple, each market n contains two assets with continuous price processes.…”

Strong asymptotic arbitrage in the large fractional binary market

“…If, in addition, the small markets are complete, then the absence of AA is related to some contiguity properties of the sequence of equivalent martingale measures (see [12]). These results are extended to incomplete markets by Klein and Schachermayer [15,16] and by Kabanov and Kramkov [13]. When frictions are introduced, the standard assumption is that each small market is free of arbitrage under arbitrarily small transaction costs.…”

No asymptotic free lunch reviewed in the light of Orlicz spaces

“…However, there is still the possibility of various approximations of an arbitrage profit by trading on the sequence of small markets, compare for example [9], [10], [13], [14]. The present note is focused on the condition no asymptotic free lunch (NAFL) which is the large financial market analogue of NFL, see [11].…”

“…These results can be understood as one-sided versions of the FTAP for large financial markets as contiguity corresponds to the property of absolute continuity of measures in the classical model. Criteria for the general situation (where M n is not a singleton) look more involved, see [13], [14] and in a different formulation [10]. E.g., in [10] it was shown that the above contiguity conditions can be replaced by (P n ) (Q n ) and (Q n ) (P n ), whereQ n (A) = sup Q∈M n Q(A), Q n (A) = inf Q∈M n Q(A).…”