Asymptotic behaviour of solutions of the difference Schrödinger equation

Abstract

We use the method of averaging and the discrete analogue of Levinson's theorem to construct the asymptotics for solutions of the difference Schrödinger equation. Moreover, we present the general form for the averaging change of variable.

On the dynamics of certain higher-order scalar difference equation: asymptotics, oscillation, stability

“…The exact values for the entries of the matrix D 2 will be obtained in the separate paragraph at the end of this section. We can now proceed analogously to what was done in [7]. Suppose first that α = 1.…”

“…Concluding this section, we note that in the case k = 1 equation (1.1) may be considered as the difference Schrödinger equation with zero energy and the discrete Wigner-von Neumann type potential. The asymptotic formulae in this situation, provided the function p(n) has zero mean value, were constructed in [7]. and superscript τ stands for the transpose operation.…”

“…Here matrix J 0 is defined by (3.9). System (3.28) has the same form as system (16) in [7], where the asymptotics for its fundamental matrix is obtained. Also the results from [5] are used.…”

Asymptotic Integration of a Certain Second-Order Linear Delay Differential Equation

“…Для того чтобы охарактеризовать эти подпро-странства более точно, определим (2 × 2)-матрицу Φ(θ), по столбцам которой рас-положены обобщенные собственные функции ϕ 1 (θ), ϕ 2 (θ) оператора A, отвечающие собственным числам из Λ. Таким образом, столбцы матрицы Φ(θ) образуют базис подпространства P Λ . Далее, пусть Ψ(ξ) (2 × 2)-матрица, по строкам которой рас-положены базисные функции ψ 1 (ξ), ψ 2 (ξ) прямой суммы обобщенных собственных подпространств P T Λ оператора A * , формально сопряженного к A относительно би-линейной формы (13). Матрицы Φ(θ) и Ψ(ξ) могут быть выбраны таким образом, что…”

“…Заметим, что отмеченные различия в динамике решений уравнений (1) и (6) во многом схожи с соответствующими различиями в динамике решений уравнения (1) и его разностного аналога x(n + 2) − 2x(n + 1) + 1 − p(n) n ρ x(n) = 0, n ≥ n 0 , изученного в работе [13].…”