Auflösbare Liesche Gruppen mit symmetrischen L1-Algebren.

Abstract

EinleitungUnter einer involutiven Banachschen Algebra wird hier stets eine Banachsche Algebra mit isometrischer Involution a -»a* verstanden. Eine solche Algebra «a/ heißt symmetrisch, falls für jedes a e stf das Spektrum von a* a in der positiven reellen Halbachse liegt. Typische Beispiele involutiver Banachscher Algebren sind die L 1 -Faltungsalgebren lokalkompakter Gruppen. Und die Frage, welche dieser Algebren symmetrisch sind, ist in den vergangenen Jahren von verschiedenen Autoren ausgiebig untersucht worden. Es war einige Zeit lang vermutet worden, daß für eine lokalkompakte Gruppe G die Symmetrie von L 1 (G) gleichbedeutend ist mit dem polynomialen Wachstum des Haarschen Maßes von G. Nun, in dieser Form ist die Vermutung falsch, und zwar in beiden Richtungen. Zum einen hat die (ax + b)-Gruppe eine symmetrische //-Algebra, siehe [16], während das Haarsche Maß dieser Gruppe natürlich exponentiell wächst. Zum anderen wurde in [7] eine diskrete, lokal endliche Gruppe mit nichtsymmetrischer //-Algebra konstruiert. Letztere Gruppe ist natürlich nicht endlich erzeugt. Beschränkt man sich auf endlich erzeugte diskrete Gruppen, so haben polynomial wachsende Gruppen freilich symmetrische L 1 -Algebren, wie aus dem tiefliegenden Struktursatz von Gromow folgt. Denn danach sind diese Gruppen endliche Erweiterungen nilpotenter Gruppen, und solche besitzen symmetrische L 1 -Algebren, vgl.[8] und [14] sowie [17]. Überhaupt ist kein Beispiel einer kompakt erzeugten lokalkompakten Gruppe mit polynomial wachsendem Haarschen Maß bekannt, welche eine nichtsymmetrische L 1 -Algebra besitzt. Allerdings liegen für totalunzusammenhängende, nichtdiskrete Gruppen keine hinlänglich allgemeinen Ergebnisse in dieser oder jener Richtung vor. Betrachtet man eine andere bedeutende Klasse lokalkompakter Gruppen, nämlich die der zusammenhängenden Lieschen Gruppen, so ergibt sich folgendes Bild. Ist G eine zusammenhängende Liesche Gruppe mit Liescher Algebra g und ist g = sxr eine Levi-Zerlegung von g mit halbeinfachem s und auflösbarem r, so folgt aus der Symmetrie von L 1 (G), daß s eine kompakte halbeinfache Liesche Algebra ist, vgl.[10]. Ist nun aber s kompakt, so folgt, siehe [17] oder [22], aus der Symmetrie von L 1 (R), wobei R den zu r korrespondierenden Normalteiler von G bezeichnet, die Symmetrie von L 1 (G). Damit ist klar, daß man erst einmal zu untersuchen hat, welche (einfach) zusammenhängenden auflösbaren Lieschen Gruppen G eine symmetrische L 1 -Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 6/9/15 3:53 AM Poguntke, Liesche Gruppen mit symmetrischen L 1 -Algebren 21 Algebra haben. In [18] wurde gezeigt, daß alle (auflösbaren) zusammenhängenden Lieschen Gruppen mit polynomial wachsendem Haarschen Maß tatsächlich symmetrische L 1 -Algebren besitzen. Dieses verallgemeinernd gibt ein Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit (Korollar zu Satz 2) für einfachzusammenhängende auflösbare Liesche Gruppen G ein hinreichendes Kriterium für die Symmtrie von L 1 (G). In einer folgenden Arbeit werde ich zeigen,...