Automorphism groups over Hilbertian fields

Legrand, François; Paran, Elad

doi:10.1016/j.jalgebra.2017.12.041

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“…Clearly, a positive answer to this question is necessary for a positive solution to the inverse Galois problem, hence the interest in the question. The work , which extends previous results of Fried and Takahashi on this question, shows that indeed all finite groups occur as automorphism groups of finite extensions of any Hilbertian field. In , this was strengthened to ‘regular’ realizations (for an arbitrary field); see théorème 1 of that paper for more details.…”

Section: Introductionsupporting

confidence: 84%

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Embedding problems for automorphism groups of field extensions

Fehm

Legrand

Paran

2019

Bull. London Math. Soc.

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A central conjecture in inverse Galois theory, proposed by Dèbes and Deschamps, asserts that every finite split embedding problem over an arbitrary field can be regularly solved. We give an unconditional proof of a consequence of this conjecture, namely that such embedding problems can be regularly solved if one waives the requirement that the solution fields are normal. This extends previous results of M. Fried, Takahashi, Deschamps and the last two authors concerning the realization of finite groups as automorphism groups of field extensions.

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Section: Introductionsupporting

confidence: 84%

“…We now proceed to prove Proposition and start by recalling the following result, which is [, Proposition 2.3]. Proposition Given a field

k

and

y \in k

, set

P_{y} false(T, X false) = X^{3} + false(T - y false) X + false(T - y false) \in k false[T false] false[X false]

.…”

Section: Proof Of Theoremmentioning

confidence: 99%

Embedding problems for automorphism groups of field extensions

Fehm

Legrand

Paran

2019

Bull. London Math. Soc.

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“…Remarque 4.4. (1) Comme pour le théorème 2.5, ce résultat est novateur dans la mesure où de nombreux corps intermédiaires k ⊆ L ⊆ k rés sont non hilbertiens et dépassent donc le cadre d'application de [LP18]. Par exemple, dans l'ensemble de ces corps intermédiaires non hilbertiens figure, pour tout nombre premier p, la pro-p-extension maximale de k, ce corps étant la C(p)-clôture de k, où C(p) désigne la classe des p-groupes ( 10 ).…”

Section: Résolution Du Pigf Sur Certaines Clôtures D'un Corps Hilbertienunclassified

“…Depuis l'article de M. Fried, plusieurs avancées significatives sur ce problème ont été effectuées. La plus générale est aussi la plus récente et est due à E. Paran et au second auteur du présent article qui montrent dans [LP18] que le PIGF /k admet une réponse positive si k est hilbertien. Ce résultat généralise donc le cas k = Q ainsi que des travaux de T. Takahashi et W.-D. Geyer sur ce problème (voir [LP18,§1] pour plus de détails), et montre, de manière inconditionnelle, une conséquence de la conjecture affirmant que tout corps hilbertien satisfait au PIG.…”

unclassified

“…Lorsque le corps de base k est hilbertien, le théorème A fournit par spécialisation une réponse positive au PIGF /k , ce qui permet de retrouver le résultat principal de [LP18]. Ce dernier résultat ne porte cependant que sur les corps hilbertiens et ne permet donc pas de mesurer l'éventuelle distance qui pourrait exister entre le PIG et sa version Faible (puisque, comme nous l'avons rappelé, les corps hilbertiens satisfont conjecturalement au PIG).…”

unclassified

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À propos d’une version faible du problème inverse de Galois

Deschamps

Legrand

2021

Acta Arith.

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Online First version À propos d'une version faible du problème inverse de Galois par Bruno Deschamps (Caen et le Mans) et François Legrand (Dresden) 1. Introduction. Le problème inverse de la théorie de Galois sur un corps k (PIG /k en abrégé) consiste à savoir si tout groupe fini est groupe de Galois sur k ou non. Le problème originel de Hilbert-Noether est le cas k = Q et reste à ce jour une question toujours ouverte. Une approche pour tenter de résoudre le PIG /k consiste à introduire une indéterminée T et, pour un groupe fini G donné, à regarder si l'on peut construire une extension galoisienne E/k(T) de groupe G telle que E/k soit régulière (c'est-à-dire telle que k soit algébriquement clos dans E). Il s'agit du Problème Inverse de Galois Régulier sur k (PIGR /k en abrégé), forme géométrique du Problème Inverse de Galois sur k. Nous renvoyons notamment aux livres [Völ96], [MM99] et [FJ08] pour un vaste aperçu de ce problème, ainsi qu'à [Zyw14] pour des résultats plus récents. Il est conjecturé (voir, par exemple, [DD97, §2.1.1]) que le PIGR /k admet une réponse positive pour tout corps k (ce qui équivaut en fait à dire que c'est le cas pour tout corps premier). Si k est un corps hilbertien (1), on voit par spécialisation que l'on a PIGR /k ⇒ PIG /k. Il est donc raisonnable de conjecturer que tout corps hilbertien k (en particulier, k = Q) satisfait au PIG. En 1978, E. Fried et J. Kollár ont annoncé avoir montré que tout groupe fini apparaissait comme groupe d'automorphismes d'une extension finie (non nécessairement galoisienne) de Q (voir [FK78]). Leur preuve comportait cependant une erreur que M. Fried corrigea deux ans plus tard dans [Fri80].

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Normalizer quotients of symmetric groups and inner holomorphs

Entin,

Tsang

2025

Journal of Pure and Applied Algebra

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Automorphism groups over Hilbertian fields

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Embedding problems for automorphism groups of field extensions

Embedding problems for automorphism groups of field extensions

À propos d’une version faible du problème inverse de Galois

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