?ber die Anzahl der Zahlen a2 + b2 in einer arithmetischen Reihe gro?er Differenz.

Abstract

Die Anzahl A (x) der natürlichen Zahlen n ^ x, die sich als Summe zweier Quadrate darstellen lassen, wurde von Landau [2] untersucht; er zeigte: Für -> gilt die asymptotische Formel (g 0 eine bestimmte Konstante). -Prachar [3] betrachtete die Anzahl A (x, k, l) jener n ^ x, n = a 2 + b 2 , für die außerdem noch n = /(mod k) gilt (k eine natürliche Zahl, / eine Restklasse mod k). Er bewies: Für festes k gilt A(x,k,l) ^g 1~= = ylogx (g 1 eine bestimmte Funktion von k und l). -In der vorliegenden Arbeit wird der Fall untersucht, daß k gleichzeitig mit x wächst. Wir zeigen: 1. Es gilt gleichmäßig in k (g, h bestimmte Funktionen von k und l), solange ist mit passender Konstante c > 0. (Siehe Satz l, §9.) 2. Aus der Richtigkeit der verallgemeinerten Riemannschen Vermutung, d. h. der Annahme, daß alle Dirichletschen L-Funktionen nach allen Moduln k keine Nullstellen mit l Realteil a > -^ besitzen, folgt die Gültigkeit derselben asymptotischen Formel gleichmäßig JA für alle k ^ "*' 6 mit einer bestimmten Konstanten a 0 und beliebig kleinem > 0. (Siehe Satz 2, §11.) Diese Resultate lassen sich, ähnlich wie schon bei festem k, durch die Methode der komplexen Integration gewinnen, wobei hier alle Fehlerglieder gleichmäßig in k abgeschätzt werden müssen. Der Einfluß der sogenannten Ausnahmenullstelle ist hier leichter zu behandeln als etwa beim Problem der Primzahlen in einer arithmetischen Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 5/30/15 5:23 PM Journal f r Mathematik. Band 226. 16 Brought to you by | University of Iowa Libraries Authenticated Download Date | 5/30/15 5:23 PM