�ber die kleinste quadratfreie Zahl einer arithmetischen Reihe

Abstract

Sei Q(x, k, I) die Aazahl der quadratfreien natiirliehen Zahlen < x, welehe =/(rood k) sind (k sei eine natiirliche Zahl und 0 ~ 1 < k). Wenn der grSl]te gemeinsame Teller d = (k, l) nicht quadratfrei ist, so gibt es keine quadratfreien Zahlen, wetche -/(rood/c) sind. Landau I hat bewiesen, dab = 2(k, l) = lim Q(x, k, 1)/x > 0 X-~ oo 1909, Bd. 2, S. 633~636.

ON TWISTS OF THE FERMAT CUBIC x3 + y3 = 2

“…, k} such that gcd(a, k) = 1 and x > 0 let S(x, a, k) := #{n ≤ x : n is squarefree and n ≡ a (mod k)}. By Prachar result [15] we have S(x, a, k) = δ k x + O( √ xk −1/4 + k 1/2 2 ω(k) ),…”

Bemerkung �ber quadratfreie Zahlen in arithmetischen Progressionen

“…Beim Beweis beniitzen wir auger der Dirichlet-Z/~hlung, wie sie aueh in [3] verwendet wird, das Selbergsche Sieb in der in [4] gefundenen Verbesserung. Es gilt dann namlich (siehe [4], S. 33 und 40 oder [5], S. 230) mit den Definitionen N(X, Z)= X h(n, Z), h(n: Z) = / 1 wenn n ~a 0 (p) fdr Yp<Z und p, k, …”

Verallgemeinerung der Siebmethode von A. Selberg auf algebraische Zahlkörper. II.

“…(77) eine obere Abschätzung für die Norm des "kleinsten" quadratfreien oder r-freien Ideals in einer Idealklasse $) mod f, also eine Verallgemeinerung von (68).Durch geeignete Aufspaltung der (70) in[11] entsprechenden Summe beweist Prachar über (67) hinaus: für beliebiges >0, wo -wie sich aus der Herleitung in[11] ergibt -die Konstante im Fehlerglied von abhängt 30 ). (76) eine Funktion (\) explizit gegeben, so ergibt sich aus (69) oder (74) bzw.…”