Berechnung von elastischen Spannungen in beliebig krummlinig berandeten Scheiben und Platten

1982

Engineers are often confronted with boundary value problems of plane elastostatics where the boundary tractions or displacements or their derivatives have a jump. The discontinuities represent by no means impediments to treating the problems economically with the aid of integral equations. However, it is necessary to know the structure of the solutions before starting numerical calculations.In this paper singular and regular integral equations of the second and of the first kind are investigated by methods which are based mainly on mechanical ideas. The essential terms of the solutions are determined for boundary values with a jump or a jumping derivative. The solutions contain both discontinuous or discontinuously differentiable terms and also logarithmically diverging terms.Particular attention is paid to the most frequently applied integral equation of the indirect method for the plane problem with prescribed tractions. The solutions of this equation for elastic slices loaded by concentrated forces and moments are deduced as special cases of the general results.(For an extensive survey of this paper: see Chapter 1.) ZUSAMMENFASSUNGIngenieure werden oft mit Randwertproblemen der ebenen Elastostatik konfrontiert, bei denen die Randspannungen oder Randverschiebungen oder deren Ableitungen Spriinge aufweisen. Die Unstetigkeiten stellen keine grunds~itzlichen Hindernisse dar, die Probleme auf 6konomische Weise mit Hilfe von Integralgleichungen zu behandeln. Jedoch ist es dazu unabdingbar, die Struktur der LSsungen zu kennen, bevor man mit den numerischen Rechnungen anfiingt. In diesem Aufsatz werden singul~ire und regul~ire Integralgleichungen zweiter und erster Art mit Methoden untersucht, die haupts~ichlich auf mechanischen Gesichtspunkten basieren. Die wesentlichen Terme der L6sungen werden f/Jr Randwerte mit einem Sprung oder einer unstetigen Ableitung bestimmt. Die L/Ssungen enthalten sowohl unstetige als auch unstetig differenzierbare Summanden und dariiber hinaus auch logarithmisch divergierende Terme.Besondere Aufmerksamkeit wird der am h~iufigsten benutzten Integralgleichung der indirekten Methode fiir das ebene Problem mit vorgeschriebenen Spannungen geschenkt. Die L6sungen dieser Integralgleichung werden far elastische, durch Einzelkriifte und Einzelmomente belastete Scheiben als Spezialfiille der allgemeinen Resultate hergeleitet.(In Kapitel 1 befindet sich ein ausfiihrlicher Oberblick fiber den Aufsatz.)

Section: U Heisementioning

confidence: 99%

Solution of integral equations for plane elastostatical problems with discontinuously prescribed boundary values

1982

“…(This compilation of references is by no means complete. An extensive list of references concerning integral equation methods is found in [28] (s~ee also [29][30][31]). )…”

Section: General Remarksmentioning

confidence: 99%

Systematic compilation of integral equations of the Rizzo type and of Kupradze's functional equations for boundary value problems of plane elastostatics

1980

With the aid of the singularity method (indirect method) 16 integral equations of the Rizzo type and the corresponding functional equations of the Kupradze type for the geometrical, the statical and the mixed boundary value problem of plane elastostatics are established. Up to now only a few of them and not even in all cases the best ones have been used for the numerical treatment of technical problems. The equations have the same kernels as those compiled in [16], however, they differ fundamentally from those by the fact that the boundary values are subjected to an integral transformation before being prescribed as the "right hand sides". Usually such equations are established with the aid of Green's theorem (direct method). By virtue of the systematic deduction of the equations using layers of edge dislocations, edge dislocation dipoles, forces and force dipoles and prescribing the boundary displacements and their derivatives and the boundary tractions and their integrals all equations can be inserted in a uniform and closed scheme of classification. The integral equations of the Rizzo type are represented as special cases of functional equations of the Kupradze type. Because of the different structures of the kernels not all equations are suited for numerical calculations in the same way. To be able to choose the most suitable formulation for every individual problem the conditions of the equations are investigated and compared with those of integral equations of other important types. Since all functions occurring in the equations can be interpreted mechanically in an elementary manner it is possible to understand and apply these equations without special mathematical knowledge. Chapter 1.2 contains an extensive survey of the paper in hand. ZUSAMMENFASSUNGMit Hilfe der Singularit~itenmethode (indirekten Methode) werden 16 Integralgleichungen vom RizzoTyp und 16 Kupradzesche Funktionalgleichungen fiir das geometrische, das statische und das gemischte Randwertproblem der ebenen Elastostatik aufgestellt. Von den Gleichungen wurden bisher nur wenige und nicht einmal in allen F~illen die besten zur numerischen Behandlung technischer Aufgaben benutzt. Die Gleichungen besitzen zwar dieselben Kerne wie die in [16] angegebenen, unterscheiden sich aber yon jenen grundlegend dadurch, dab die Randwerte einer Integraltransformation unterzogen werden, bevor man sie auf der "rechten Seite" vorschreibt, l)blicherweise werden solche Gleichungen mit Hilfe des Greenschen Satzes aufgestellt (direkte Methode). Dank der systematischen Herleitung der Gleichungen unter Verwendung yon Belegungen yon Versetzungen, Versetzungsdipolen, Kriiften und Kriiftedipolen bei Vorgabe der Randverschiebungen und ihrer Ableitungen sowie der Randspannungen und ihrer Integrale lassen sich alle Gleichungen in ein einheitliches und abgeschlossenes Klassifikationsschema einordnen. Die Integralgleichungen vom Rizzo-Typ werden darin als Spezialf~ille yon Kupradzeschen Funktionalgleichungen dargestellt. Wegen ihrer unterschiedlichen Struktur eignen sich ni...

“…Investigations and physical interpretations of the spectra of integral operators generated by the singularity method and discussions of the consequences for the numerical solubility of the integral equations are found in [32]- [35]. The paper [22] provides an extensive compilation of references concerning integral equations for elastostatical boundary value problems.…”

Section: Surveymentioning

confidence: 99%

“…Thereby special attention is paid to mechanical aspects [20], [22], [29], however without considering details. Using tensor calculus we succeed to establish concise formulae for the kernels as dependent variables of the position vectors of the field and source point.…”

Section: Surveymentioning

confidence: 99%

“…Notwithstanding the spectra of the integral operators being the main subject of this paper the given data are sufficient to solve technical problems completely. In particular the statement of the tensorial influence functions based on local polar co-ordinates for the circular disc enables employment of a numerical method approximating arbitrarily shaped boundaries by circular arcs and straight lines [22]- [24], [26], [30]. Altogether 16 integral equations of the first as well as of the second kind with regular, logarithmic and singular kernels for the geometrical and the statical problem are formulated.…”

Section: Surveymentioning

confidence: 99%

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The spectra of some integral operators for plane elastostatical boundary value problems

1978

In this paper 16 integral equations for the geometrical and statical boundary value problem of plane elastostatics are systematically compiled. As the equations are formulated with the aid of the singularity method it is possible to interpret mechanically all quantities occurring in them.The compilation contains equations of the first and of the second kind with regular, logarithmic and singular kernels. Because of the variety of types the integral equations are by no means equally suited for numerical treatment. To be able to judge the numerical suitability and to reject ill conditioned equations the spectra of the related integral operators are investigated. As it is too expensive to calculate the eigenvalues and eigenfunctions for arbitrarily shaped bodies in every individual case the eigenvalue problem for the circular disc is dealt with. From the results strong conclusions are drawn concerning the solubility properties of integral equations for more complicateff shaped slices.The main aim of this paper does not consist of compiling various integral representations of the plane elastostatical problem, but to provide an easy working method to judge the numerical suitability of integral equations for boundary value problems similar to those dealt with here. The variety of examples is needed to illustrate systematically the full scope of the method. ZUSAMMENFASSUNGIn diesem Aufsatz werden 16 Integralgleichungen fiir das geometrische und statische Randwertproblem der ebenen Elastostatik systematisch zusammengesteUt. Da die Gleichungen mit HiKe der Singularitiitenmethode aufgesteUt werden, lassen sieh alle in ihnen auftretenden Griigen mechanisch deuten. Die Zusammenstellung enthiilt Gleichtmgen erster und zweiter Art mit regul~en, logarithmischen und singul~en Kernen. Wegen der Vielfalt der Typen eignen sich keineswegs alle Integralgleichungen in derselben Weise zur nnmerischen Behandlung. Um die numerische Brauchbarkeit beurteilen nnd schlecht konditionierte Gleichungeu aussortieren zu kgnnen, werden die Spektren der zugeh6rigen Integraloperatoren untersucht. Da es bei beliebig geformten Scheiben zu atffwendig ist, die Eigeuwerte und Eigenfunktionen in jedem Einzelfall zu berechnen, wird das Eigenwertproblem fiir die Kreisscheibe behandelt. Aus den Ergebnissen lassen sich aussagekriiftige Schliisse beziiglich der Liisbarkeitseigenschaften von Integralgleiehungen ffir komplizierter gestaltete K6rper ziehen.Der Hanptzweck dieses Auisatzes besteht uicht darin, eine ZusammensteUung verschiedenartiger Integraldarstellungen ffir das ebene elastostatische Problem zu liefern, sondern eine einfache Methode zur Beurteilung der numerischen Brauchbarkeit yon Integralgleichungen Ifir Randwertprobleme anzugeben, die dem bier behandelten artverwandt sind. Die Vielfalt der Beispiele dient dazu, den weiteu Anwendungsbereich des Verfahrens systematisch aufzuzeigen.