Beschränkte und Unbeschränkte Reduktion von Konjunktionen von Modalitäten in S4

Abstract

Einige der bekannten Erweiterungen dcs niodallogischen Systems S4 entstehenbei Axiomatisierung im Stile von LEMMON [5] -durch Hinzunahme von Axiomen der Gestalt A p 2 Bp, andere dureh Axiome der Form A p 2 ( B p 3 Cp), noch andere durch solche der Gestalt A p 2 ( B p 3 ( C p 2 Dp)), wobei A , B, C, D jeweils affirmative Modalitatenim Sinne beispielsweise von [4], S. 42 -sind.l) Fur eine einheitliehe Behandlung dieser Axiome und verwandter Prinzipien empfielt es sich, allgeniein ,,Konjunktionen" A, A . . . A .4, ( 7~ 2 1) von Modalitaten in Betraclit zu ziehen, wobei naturlicli fur jeden Satz p der Ausdruck A , A . . . A A,,(p) gleich der normalen n-fachen Konjunktion A l ( p ) A . . . A A,,@) sein s o l Den unbequemen Ausdruck ,,Ronjunktionen voii Modalitaten" kurzen wir durch ,,KM" ah, und beniitzen im Folgeiiden ,,K" (mit oder ohne Index) als metasprachliche Variable fur KM.Die Axiome der eingangs erwahnten S4-Erweiterungen sind also Einzelfalle des Schemas: K p 3 A p , bei dem A eine Modalitat und E; eine IiM darstellt. Da die Umkehrungen dieser Satze jeweils Theoreme von S4 sind, wird mit ihnen eine Reduktion der K M auf eine S4-Modalitat bewirkt. Es stellt sieh deshalb die Frage, ob nicht vielleicht samtliche Kalkule aus der recht anzahlstarken und unubersichtlichen Menge der S4-Erweiterungen durch bislang ununtersuchte KN-Reduktionen charakterisierbm sind, und ob umgekehrt solche Reduktionsprinzipien eventuell zur Entdcckung neuer Kalkule dcr genannten Familie fuhrcn. Beide Teilfragen sind negativ zu heantworten. Im ersten Teil dieser Arbeit wird sieh herausstellen, dal3 die Menge der durch (unbeschrankte) Reduktion beliebiger R M cliarakterisierharen Kalkule eine eehteund zwar relativ kleine -Teilmenge der Menge aller his dato bekannteii S4-Erweiterungen darstellt. I7nd diese Inklusion besteht sclbst d a m fort, wenn man zusatzlicli noch eine Reihe von Einschrankungen der KM-Reduktionsprinzipien in Betracht zieht, wie das in Teil 2 geschieht.