Best Rational Approximations of Entire Functions Whose Maclaurin Series Coefficients Decrease Rapidly and Smoothly

Abstract

Abstract. Let / = zZf"0ajZJ be an entire function which satisfies \«j-iaj+i/«j\< P2' 7 = 1,2,3.where 0 < p < p0 and p" = 0.4559... is the positive root of the equation 2£f*L {p'= 1. Let r > 0 be fixed. Let W, M denote the rational function of type (L, M) of best approximation to / in the uniform norm on \z\ < r. We show that for any sequence of nonnegative integers { M, }f_ ¡ that satisfies M, < 10L, L = 1,2, 3,..., the rational approximations W, M¡ converge to / throughout C as L -> oo. In particular, convergence takes place for the diagonal sequence and for the row sequences of the Walsh array for /.1. Introduction. As far as the authors can determine, e: is the only function for which best rational approximations are known to overconverge throughout C. The known results, all due to Saff [7,8], include the following. Let r > 0 be fixed. For each pair (m,n) of nonnegative integers, let Wmn denote a rational function of type (m, n) of best approximation to the function ez in the uniform norm on \z\ < r.

Тригонометрические Аппроксимации Паде Функций С Регулярно Убывающими Коэффициентами Фурье

“…В алгеб-раическом случае аналогичные задачи изучались А. Левиным и Д. Любински (см. [11]- [14]) в связи с анализом результатов Э. Саффа (см. [15], [16]), относя-щихся к рациональной аппроксимации экспоненты.…”

“…[15], [16]), относя-щихся к рациональной аппроксимации экспоненты. В работах [11]- [14], [17]- [19] найдены широкие классы целых функций, для которых классические аппрокси-мации Паде π n,m ( · ; f ) приближают f в единичном круге со скоростью, асимп-тотически равной наилучшей, т.е. наблюдается так называемый эффект Саф-фа (подробнее см.…”

Convergent Interpolation to Cauchy Integrals over Analytic Arcs

“…Let us quote for example the deep study of those open sets for which holomorphic functions that extend continuously up to the boundary can be approximated by rational functions on the closure [36,60], see comprehensive expositions and further references in the monograph [18]. In another connection, the achievable rate of convergence of rational approximants at regular points, when the degree goes large, also received considerable attention [61,21,29,42,46]. Meantime, rational approximation has become a tool in numerical analysis [30,62,59], as well as in the modelling and control of signals and systems, see for instance [2,14,8,20,43].…”

Аппроксимации Паде Функций Миттаг-Леффлера

“…В [9], [10] (см. также работу [11]) для широкого класса целых функций (sin z, cos z, ch z, sh z, бесселевы функции, интеграл вероятности, функции Миттаг-Леффлера и др.) эффект глобальности экстремальных свойств дробей Паде был установлен для таких последовательностей таблиц Паде, когда n + m → ∞ и выполнено условие…”