Bijective proofs using two-line matrix representations for partitions

“…A prova deste teorema segue de modo análogo ao Corolário C em [2].É suficiente construir uma bijeção do conjunto de partições de 2n − 4 com as restrições descritas no Teorema (2.1) e o conjunto de matrizes da forma (3), em que associa a cada k ≥ 1 fixado, uma partição de 2n − 4 com nenhum pontoà direita do quadrado de Durfee de lado k a uma matriz com as restrições (3), contendo exatamente k colunas de forma que d 1é o número de partes iguais a 1 abaixo do quadrado de Durfee, d 2é o número de partes iguais a 2 abaixo do quadrado de Durfee e assim por diante. Por exemplo, uma partição λ = λ 1 + λ 2 + .…”

Section: Mock Theta Function F 0 (Q)unclassified

Novos resultados em partições

Andrade¹,

Silva

Silva³

2015

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics

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Resumo: Neste trabalho vamos apresentar resultados obtidos para as Mock Theta Functions qω(q) e f 0 (q), através da representação de uma partição como matriz de duas linhas. Para cada inteiro positivo n, geramos todas as matrizes de duas linhas possíveis, somamos suas linhas, resultando em uma matriz de ordem 2 × 1 e depois contamos quantas vezes cada soma aparece. Dispomos estes dados em uma tabela e, a partir daí, foi possível conjecturar e demonstrar vários resultados interessantes a respeito de partições. Existem inúmeros resultados que podem ser obtidos e demonstrados combinatorialmente através desta nova estatítisca. Palavras-chave: Partições, matrizes de duas linhas, Mock Theta FunctionsEm [4], foram dadas interpretações como matrizes de duas linhas para as Mock Theta Functions. Baseado nestas representações, introduzimos uma nova estatística, onde, para cada inteiro n, geramos todas as matrizes de duas linhas possíveis, somamos suas linhas, de forma que resulte uma matriz de ordem 2 × 1 e daí contamos a cardinalidade de tais matrizes. Tabelamos estes valores e então foi possível encontrar alguns resultados. Mock Theta Function qω(q)De acordo com [4], a função geradora para qω(q)ée a restrição que caracteriza a matriz de duas linhas correspondenteé c t = c t+1 + 2d t+1 , c s = 1.Logo, a tabela associada a esta caracterizaçãoé a seguinte.

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“…A new combinatorial way to represent integer partitions as two-line matrices was introduced in [6]. The same idea was extended in [4] to specific types of partitions, allowing the authors to prove a great amount of new results. In a similar way, Brietzke et al in [5] presented two-line matrix representations for the coefficients of some Mock Theta Functions.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%