Brouwer and Weyl: The Phenomenology and Mathematics of the Intuitive Continuum

Abstract

Brouwer and Weyl recognized that the intuitive continuum requires a mathematical analysis of a kind that set theory is not able to provide. As an alternative, Brouwer introduced choice sequences. We first describe the features of the intuitive continuum that prompted this development, focusing in particular on the flow of internal time as described in Husserl's phenomenology. Then we look at choice sequences and their logic. Finally, we investigate the differences between Brouwer and Weyl, and argue that Weyl's conception of choice sequences is defective on several counts.

Higher order functions and Brouwer’s thesis

“…One construction of this spread involves an encoding of rational intervals as natural numbers; then a list of natural numbers u is admitted in B R just when its elements encode increasingly smaller nested rational intervals each of the form a 2 n−1 , a+1 2 n−1 . A point α in the resulting spread R is an encoding of a real number, and one may identify the collection R of real numbers with the equivalence classes of R-points under the suitable relation (van Atten et al, 2002). Definition 1.9 (Fans, or finitary spreads).…”

Weyl and Intuitionistic Infinitesimals

“…. For an introduction to choice sequences, with particular attention to philosophical and mathematical differences between Brouwer's theory and Weyl's adaptation of it, see vanAtten et al 2002; for their history, Troelstra 1982. …”

Οι Φαινομενολογικές Βάσεις Των Μη Συμβατικών Μαθηματικών

“…[53]). Υπογραμμίζεται η κυκλικότητα της έννοιας της συνέχειας κατά την Χουσερλιανή (Husserlian) ανάλυση της συγκροτούσας ροής της συνείδησης η οποία κατά την διαισθητική μοντελοποίηση τού Συνεχούς μπορεί να συσχετισθεί με την υιοθέτηση ad hoc αξιωμάτων τού κατηγορικού λογισμού γιά την περιγραφή τού Συνεχούς μέσω των ακολουθιών επιλογής (choice sequences) [53] καί [51]. Επί πλέον αναλύεται η μη-κατηγορικότητα της συγκροτούσας ροής της συνείδησης ως απόλυτης υποκειμενικότητας κατά την θεμελιώδη φαιν ομενολογικού τύπου αναγωγή και η 'αντανάκλαση της' στην μη-κατηγορικότητα τού διαισθητικού άρα καί τού μαθηματικού Συνεχούς στην κλασική Καντοριανή θεωρία αλλά και στις αποκαλούμενες μη-συμβατικές θεωρίες (nonstandard theories).…”

“…Τόσο ο L. E. J. Brouwer όσο και ο Hermann Weyl αναγνώριζαν την ύπαρξη ενός 'διαισθητικού Συνεχούς' και στην βάση αυτής της ιδέας τού διαισθητικού Συνεχούς ανέπτυξαν μιά κατασκευαστικού τύπου πραγματική ανάλυση μέσω των ακολουθιών επιλογής (choice sequences) (βλ. [53], ρ. 203).…”

“…Ο Brouwer ήδη στα πλαίσια της διδακτορικής του διατριβής το 1907 έκανε λόγο γιά το διαισθητικό Συνεχές τα χαρακτηριστικά τού οποίου μπορούν επίσης να κατανοηθούν στη βάση της Χουσερλιανής φαινομενολογικής περιγραφής τού εσωτερικού χρόνου (βλ. [53], ρ. 205).…”