Busca Extremal para Maximização de Derivadas de Ordem Superior de Mapas Desconhecidos em Cascata com EDPs de Reação-Advecção-Difusão

Abstract

We present a generalization of the scalar Newton-based extremum seeking algorithm, which maximizes the map's higher derivatives in the presence of Partial Differential Equation (PDE) dynamics described by Reaction-Advection-Diffusion (RAD) equations. Basically, the effects of the PDE dynamics in the additive dither signals are canceled out using the trajectory generation paradigm. Moreover, the inclusion of a boundary control for the RAD process stabilizes the closed-loop feedback system. By properly demodulating the map output corresponding to the manner in which it is perturbed, the extremum seeking algorithm maximizes the n-th derivative only through measurements of the own map. The RAD compensator employs the same perturbation-based (averaging-based) estimate for the Hessian's inverse of the function to be maximized provided by a differential Riccati equation applied in the previous publications free of PDEs. We prove local stability of the algorithm, maximization of the map sensitivity and convergence to a small neighborhood of the desired (unknown) extremum by means of backstepping transformation, Lyapunov functional and the theory of averaging in infinite dimensions. Resumo: Apresenta-se uma generalização para a busca extremal escalar baseada no método de Newton, que maximiza as derivadas do mapa na presença de dinâmica descrita por Equação Diferencial Parcial (EDP) através de equações de Reação-Difusão-Advecção (RDA). Basicamente, o efeito da EDP nos sinais de excitação aditivaé cancelado usando o paradigma de geração de trajetória. Além disso, a inclusão de um controle de fronteira para o processo RDA estabiliza o sistema em malha fechada. O algoritmo de busca extremal maximiza apenas a derivada n-ésima através de medições do próprio mapa através de uma demodulação adequada da saída. O compensador RDA emprega a mesma estimativa baseada em perturbações (baseada na média) para a inversa da Hessiana a ser maximizada por meio de uma equação diferencial de Riccati, já conhecida de publicações anteriores para o cenário livres de EDPs. Ao final, provase a estabilidade local do algoritmo, a maximização da sensibilidade do mapa e convergência para uma pequena vizinhança do extremo desejado (desconhecido) por meio da transformação backstepping, funcional de Lyapunov e a teoria da média em dimensões infinitas.