c-вееры и многогранники Ньютона алгебраических многообразий

Казарновский, Борис Яковлевич; Kazarnovskii, Boris

doi:10.4213/im434

Cited by 19 publications

(9 citation statements)

References 10 publications

Supporting

Mentioning

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…Перечислим некоторые свойства асимптотических плотностей ал-гебраических многообразий (необходимые вычисления, построение асимптоти-ческих плотностей на языке идеалов и объяснение их связи с когомологиями торических многообразий см. в [7]). …”

Section: матричные функции представлений тора матричные функции предunclassified

“…(4) Поток асимптотической плотности можно представить в виде интегри-рования формы-аргумента ϕ по некоторому (2n − k)-мерному вееру ко-нусов в C n , минимальный конус которого совпадает с пространством Im C n . Каждый (2n − k)-мерный конус K этого веера снабжен некото-рой плотностью ω K , представляющей собой нечетную внешнюю форму степени k на порожденном этим конусом (2n − k)-мерном вещественном подпространстве в C n (подобные объекты называются в [7] c-веерами). Интеграл от формы ϕ по вееру -это по определению сумма интегралов от форм ϕ ∧ ω K по конусам старшей размерности.…”

Section: матричные функции представлений тора матричные функции предunclassified

“…Из результатов работ [9] и [7] вытекает, что это отображение -изоморфизм колец. О других реализациях кольца мно-гогранников см.…”

Section: матричные функции представлений тора матричные функции предunclassified

“…Произведение n выпуклых тел, расположенных в пространстве Re G * , -плотность на подпространстве Im G , равная евклидовой площади, умноженной на смешанный объем выпук-лых тел и на n!, где n = dim Re G * [7].…”

unclassified

See 3 more Smart Citations

Многогранники Ньютона, Инкременты И Корни Систем Матричных Функций Конечномерных Представлений

Казарновский¹,

Kazarnovskii²

2004

Функц. анализ и его прил.

Self Cite

View full text Add to dashboard Cite

Section: матричные функции представлений тора матричные функции предunclassified

unclassified

See 2 more Smart Citations

Многогранники Ньютона, Инкременты И Корни Систем Матричных Функций Конечномерных Представлений

Казарновский¹,

Kazarnovskii²

2004

Функц. анализ и его прил.

Self Cite

View full text Add to dashboard Cite

“…Отсюда сопоставление выпуклому телу А С ReC n * потока exp(dd c H / \) задает отображение построенного в [10] кольца выпуклых тел в кольцо @. Из результа тов работ [11], [8] вытекает, что это отображение -изоморфизм колец (о других реализациях кольца выпуклых тел см. [8]- [13], о геометрических свойствах асимп тотической плотности см.…”

unclassified

“Многогранники Ньютона” Обобщенных Функций

Казарновский¹,

Kazarnovskii²

2004

Izv. RAN. Ser. Mat.

Self Cite

View full text Add to dashboard Cite

УДК 512.7+514.172 Б.Я. Казарновский "Многогранники Ньютона" обобщенных функций Показано, что усредненная асимптотическая плотность корней систем урав нений вида fi(x) = 0, где fi(x) -преобразования Фурье обобщенных функций с фиксированными компактными носителями, выражается в терминах геометрии выпуклых оболочек носителей обобщенных функций как их произведение в коль це выпуклых тел. Библиография: 23 наименования. §1. Введение Плотность множества корней типичной системы экспоненциальных сумм (э. с.) вычисляется по их многогранникам Ньютона [2]-[5]. Как показано далее, эта плот ность равна произведению многогранников Ньютона в некотором порожденном вы пуклыми телами кольце. Экспоненциальная сумма -это функция на С п вида Y^ с Л ехр(2:,Л), Аел где с\ G С, а Л -конечное подмножество сопряженного пространства С п *, на зываемое спектром экспоненциальной суммы. Многогранник Ньютона э.с.выпуклая оболочка ее спектра. Вопрос об описании плотности множества кор ней системы э.с. является продолжением вопроса о вычислении количества корней системы полиномов (замечание 1). Для систем э. с. получена формула асимптоти ческой плотности, усредненной по множеству всех систем с фиксированными спект рами. Такое усреднение позволяет избежать трудностей, связанных с вырождени ем системы. Цель настоящей работы -вычислить усредненную асимптотическую плотность корней систем уравнений, составленных из функций, являющихся пре образованиями Фурье обобщенных функций с фиксированными компактными но сителями. Оказывается, что в этом случае роль многогранников Ньютона берут на себя выпуклые оболочки носителей обобщенных функций. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если спектры системы п экспоненциальных сумм -подмножес тва целочисленной решетки подпространства ReC n *, то множество корней сис темы -объединение конечного числа сдвигов n-мерной решетки 27Г\ /Л -Т^п, где Ъ п -целочисленная решетка подпространства ReC n . Такие э.с. являются про образами полиномов Лорана на (С \ 0) п при отображении ехр: С п ->> (С \ 0) п .

show abstract

Newton Polyhedra of Discriminants of Projections

Esterov

2010

Discrete Comput Geom

View full text Add to dashboard Cite

For a system of polynomial equations, whose coefficients depend on parameters, the Newton polyhedron of its discriminant is computed in terms of the Newton polyhedra of the coefficients. This leads to an explicit formula (involving Euler obstructions of toric varieties) in the unmixed case, suggests certain open questions in general, and generalizes similar known results ( Introduction.Let F 0 , . . . , F l be Laurent polynomials on the complex torus (C \ 0) k , whose coefficients are Laurent polynomials on the parameter space (C \ 0) n . Consider the set Σ ⊂ (C \ 0) n of all values of the parameter, such that the corresponding system of polynomial equations F 0 = . . . = F l = 0 defines a singular set in (C \ 0) k . In most cases (see below for details), the closure of Σ is a hypersurface, and its defining equation is called the discriminant of F 0 = . . . = F l = 0.In this paper, we compute the Newton polyhedron of the discriminant in terms of Newton polyhedra of the coefficients of the polynomials F 0 , . . . , F l . The answer is known in many special cases, and we give a number of references as examples of various approaches to this problem: the universal special case for l = 0 and l = k was studied in [GKZ], [S94] and [DFS] (universal case means that (C \ 0) n parameterizes all collections of polynomials F 0 , . . . , F l , whose monomials are contained in a given finite set of monomials), the general case for l = k − 1, for l = k − 1 = 0 and for l = k was studied in [McD], [G] and [EKh].To formulate the answer in general, we need the following notation: we denote the Minkowski sum {a + b | a ∈ A, b ∈ B} of polyhedra A and B by A + B, and denote the mixed fiber polyhedron of the polyhedra ∆ 0 , . . . ,Definition 1.11, or Appendix). To a set A ⊂ Z k and a face B of its convex hull we associate its Euler obstruction e B,A ∈ Z, whose combinatorial definition is given in Subection 1.5, and whose geometrical meaning is (−1) k−dim B times the Euler obstruction of the A-toric variety at its orbit, corresponding to B (see also [MT] and a remark at the end of Subsection 4.4).Considering F i as a polynomial on (C\0) k with polynomial coefficients, denote the set of its monomials by A i ⊂ R k ; considering the same F i as a polynomial on (C \ 0) n × (C \ 0) k with complex coefficients, denote its Newton polyhedron by ∆ i ⊂ R n ⊕ R k . Denote the preimage of a set A ′ under the natural projection ∆ i → (convex hull of A i ) by ∆ i (A ′ ). For simplicity, we assume here that A 0 = . . . = A l = A, and pairwise differences of its points generate Z k .Theorem. If F 0 , . . . , F l are generic polynomials with Newton polyhedra ∆ 0 , . . . , ∆ l , then the Newton polyhedron of the discriminant equals

show abstract

c-вееры и многогранники Ньютона алгебраических многообразий

Cited by 19 publications

References 10 publications

Многогранники Ньютона, Инкременты И Корни Систем Матричных Функций Конечномерных Представлений

Многогранники Ньютона, Инкременты И Корни Систем Матричных Функций Конечномерных Представлений

“Многогранники Ньютона” Обобщенных Функций

Newton Polyhedra of Discriminants of Projections

Contact Info

Product

Resources

About