Cálculo fracional: modelagem em física dos solos

Abstract

RESUMONesta contribuição, utilizamos o cálculo de ordem não inteira, também conhecido como cálculo fracionário (CF) para estudar a física dos solos, em especial o transporte de fluidos. Modelos que envolvem o CF vem se mostrando promissores por permitirem uma melhor descrição da dinâmica do transporte de fluidos através de zonas insaturadas em solos.O modelo mais utilizado para a descrição do sistema hídricoé realizado através da equação de Richard [2] [1]. No entanto, a modelagem clássica envolve o cálculo de ordem inteira. A generalização dessa equação através do CF foi proposta [4], visando aplicaçõesà descrição do processo de transporte de fluidos em meios porosos.O CFé uma ferramenta matemática tão antiga quanto o cálculo usual e remonta a Leibniz [6]. Existem varias definições para a derivada fracionária, mas as mais utilizadas são as definições de RiemannLiouville e de Caputo [5]. Nessa primeira abordagem utilizaremos somente a primeira:ondeΓ(v)é uma função Gama definida por: Γ(v) =´+ ∞ 0 e −t t v−1 dt. Nosso objetivo mais básico aquié o de estudarmos as consequências do uso da generalização fracionária da equação de Richard, seguindo os trabalhos de Pachepsky [4] e Gerolpymaton [2], em comparação aos modelos clássicos de ordem inteira. Numa etapa subsequente pretendemos realizar o mesmo estudo num contexto de derivadas fracionárias chamadas locais ou fractais [3], utilizando com dados obtidos através de medidas realizadas em solos do Brasil.A lei de Darcy (originalmente aplicada ao estudo de fluxos em meios saturados) pode ser utilizada para meios insaturados e, a partir da mesma, se pode construir a equação de Richard (ER) clássica [2] como:onde C(θ)é a difusividade da mistura em função do conteúdo volumétrico deágua θ.Usando a condição inicial: θ(0, x) = θ 1 , se x = 0, θ 0 , se x > 0 , podemos reformular a ER clássica como uma equação integral: