Carleman estimates and controllability results for the one-dimensional heat equation with BV coefficients

Abstract

To cite this version:Jérôme Le Rousseau. AbstractWe derive global Carleman estimates for one-dimensional linear parabolic operators ∂ t ± ∂ x (c∂ x ) with a coefficient c with bounded variations. These estimates are obtained by approximating c by piecewise regular coefficients, c ε , and passing to the limit in the Carleman estimates associated to the operators defined with c ε . Such estimates yield results of controllability to the trajectories for a classe of semilinear parabolic equations. Version française abrégéeOn considère les opérateursEmail address: jlerous@cmi.univ-mrs.fr (Jérôme Le Rousseau). février 2008(ii) On donne une idée de la preuve du Théorème 0.1 dans le cas (i), i.e. une 'observation' frontière. Si c est C 1 par morceaux, une inégalité de Carleman (4) est obtenue [1,2] en construisant des fonctions poids données dans (3),à partir d'une fonction β, régulière par morceaux, quià chaque point de discontinuité de c satisfait la condition (2).Dans le cas où c ∈ BV(Ω), pour ε > 0 on choisit c ε , constant par morceaux, deen chaque point de discontinuité a de c ε , alors β ε satisfait la condition (2) ; ii) de plus V 1 0 ( β ′ ε ) est majorée uniformément par rapportà ε.À une sous-suite près, ces fonctions β ′ ε convergent partout quand ε tend vers 0, par le théorème de Helly. On déduit, par passageà la limite et intégration, une fonction β.A l'aide de β ε et β, on construit des fonctions poids selon (3). Celles associéesà c ε permettent d'obtenir des inégalités de Carleman pour ∂ t ± ∂ x (c ε ∂ x ). Une inspection détaillée de la preuve des inégalités de Carleman dans le cas C 1 par morceaux permet de prouver l'existence d'une borne uniforme, par rapportà ε, pour la constante Cà droite de (4) pour les opérateurs ∂ t ± ∂ x (c ε ∂ x ). De même, les constantes s 1 et λ 1 dans le Théorème 2.2 peuventêtre choisies uniformes par rapportà ε. Ces résultats permettent un passageà la limite dans les inégalités de Carleman associéesà ∂ t ± ∂ x (c ε ∂ x ) : les solutions de ∂ t q ε ± ∂ x (c ε ∂ x )q ε = f sont telles que ∂ t q ε , q ε , ∂ x q ε , ∂ x (c∂ x q ε ) convergent vers les fonctions associées pour la solution q de ∂ t q ± ∂ x (c∂ x )q = f , pour f régulière et les conditions finales (resp. initiales) bien choisies ; les fonctions poids convergent et les constantes restent bornées. On relaxe alors la régularité sur f et les hypothèses sur les conditions finales (resp. initiales).Le Théorème 0.1 permet d'obtenir des résultats de contrôlabilité aux trajectoires pour une classe d'équations semilinéaires paraboliques. Si Le preuve du Théorème 0.2 repose sur un argument de point fixe [4,5,6].

Degenerate parabolic operators of Kolmogorov type with a geometric control condition

“…The null and approximate controllabilities of the heat equation are essentially well understood subjects for both linear and semilinear equations, for bounded or unbounded domains [3,27,30,32,33,34,37,44,46,48,51,52,62,63] and also with discontinuous [28,12,13,57] or singular [61,29] coecients.…”

Carleman Estimates for Some Non-Smooth Anisotropic Media

“…When the observation takes place in the region where the diffusion coefficient c is the 'lowest', this question was solved in [10] for a parabolic operator P = ∂ t − ∇ x · (c(x)∇ x ). In the one dimensional case, and without assumption on the localization of the observation, the question was solved for general piecewise C 1 coefficients [5,6] and for coefficients with bounded variations [15]. The work [7] generalizes [5,6] to some stratified media with dimension n ≥ 1.…”

Null controllability of degenerate parabolic equations of Grushin and Kolmogorov type

“…[17], [7], [8], [41]) or singular ( [42] and [19]) coefficients. In particular, the heat equation on a smooth bounded domain…”