Cayley graphs with few automorphisms: the case of infinite groups

Abstract

We characterize the finitely generated groups that admit a Cayley graph whose only automorphisms are the translations, confirming a conjecture by Watkins from 1976. The proof relies on random walk techniques. As a consequence, every finitely generated group admits a Cayley graph with countable automorphism group. We also treat the case of directed graphs.Résumé. -Nous caractérisons les groupes de type fini qui admettent un graphe de Cayley dont les seuls automorphismes sont les translations. Cela confirme une conjecture de Watkins

On Limits of Vertex-Symmetric Graphs and Their Automorphisms

“…З а м е ч а н и е 3. Имеются также другие весьма общие способы построения связных локально конечных графов Кэли групп с тривиальным стабилизатором вершины в группе всех автоморфизмов графа (см., например, [12] и [11]).…”

“…З а м е ч а н и е 4. Для доказательстве теоремы (точнее, для нахождения такой конечной системы порождающих X = X −1 ∋ 1 группы Р. Томпсона F , что стабилизатор вершины графа Γ F,X в группе Aut(Γ F,X ) тривиален) можно вместо предложения 7 использовать теорему 1.1 из [11] (хорошо известно, что группа F не имеет кручения).…”

On the non-discreteness of automorphism groups of Cayley graphs of Coxeter groups

“…It is worth mentioning that recently results with an opposite flavour (compared to ours) appeared in the literature. Indeed, it has been proved in [6, Theorem 7] (see also [7,Theorem 1.1]) that for any finitely generated group G which is not abelian nor generalised dicyclic, if S 0 is a finite symmetric generating set for G then G ∼ = Aut Cay(G, S) , where S is the new generating set (S 0 ∪ S 2 0 ∪ S 3 0 ) \ {e}. Thus, the results from [6,7] mean that is it is always possible to find generating sets so that the Cayley graph has as few automorphisms as possible.…”