Chaotic maps generating white noise

Goloubentsev, A.F.; Аникин, В. М.; Barulina, Y.A.

doi:10.1109/phycon.2003.1236865

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“…Las herramientas de mecánica estadística que sirvieron para describir y analizar el comportamiento del Mapeo Logístico fueron el Teorema Ergódico de Birkhoff, el Diagrama de Bifurcación, la Distribución Estadística y el Exponente de Lyapunov. Con estas herramientas es posible que el ingeniero de diseño electrónico pueda definir y establecer los criterios para que un circuito electrónico, cuya función de transferencia sea una función cuadrática, genere señales de ruido con distribución estadística útil, aprovechando sus propiedades de dispersión mezclado descritas en el capítulo 2 de esta tesis.Es importante mencionar que además del Mapeo Logístico, existen otros mapeos como el de Bemoulli y el de la Carpa (tent map) que pueden usarse para la generación de señales de ruido[95] [96]. Por ejemplo, M. Eisencrafta, y L. Antonio Baccalá buscaron estimar las condiciones iniciales de las órbitas de ruido embebido producido por mapeos unidimensionales generales[97].…”

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Mapeos caóticos unidimensionales aplicados a la generación de ruido

Medina

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El tema principal de esta tesis es el análisis de mapeos 1 caóticos unidimensionales con técnicas de mecánica estadística para su aplicación en generadores de ruido. Se analiza el mapeo logístico usando, en función del parámetro que gobierna el mapeo, el diagrama de bifurcación, el diagrama de trayectorias, el Exponente de Lyapunov y su distribución estadística. También, analizando el comportamiento de las órbitas del mapeo, y usando el Teorema de Ergódico, se determina una expresión para calcular la distribución invariante.En particular, usando el diagrama de bifurcación se describe el fenómeno del doblamiento del periodo desde dos puntos de vista. El primero, que es la forma tradicional, analiza la ruta del orden al caos. Se describe el doblamiento del periodo de las órbitas que produce el mapeo haciendo variar el parámetro de µ = O hasta µ = J-1«,, que de acuerdo al criterio de estabilidad, f-1«, es el punto para el cual el mapeo entra al caos. De esta manera, se enfatiza la posibilidad de generar señales periódicas siempre que el valor del parámetro del mapeo sea tal que µ E (O, J-1«,) y aperiódicas si el valor del parámetro es tal que µ E (J-1«,, 4). El segundo punto de vista, corresponde a un enfoque muy poco abordado, y considera la ruta del caos al orden. Se describe el doblamiento del periodo, pero ahora ya no es un fenómeno sobre las órbitas del mapeo, sino sobre las distribuciones invariantes de dicho mapeo. Esto se demuestra, haciendo variar, en forma decreciente, el parámetro en el intervalo µ E (J-1«,, 4) y calculando numéricamente la distribución invariante del mapeo para aquellos valores del parámetro en los que se hace la bifurcación de distribuciones.1 En esta tesis se emplea el término mapeo para referirse a transformaciones como se conoce formalmente en matemáticas.

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