Characterization and semiadditivity of the $\mathcal C^1$-harmonic capacity

Abstract

Abstract. The C 1 -harmonic capacity κ c plays a central role in problems of approximation by harmonic functions in the C 1 -norm in R n+1 . In this paper we prove the comparability between the capacity κ c and its positive version κ c + . As a corollary, we deduce the semiadditivity of κ c . This capacity can be considered as a generalization in R n+1 of the continuous analytic capacity α in C. Moreover, we also show that the so-called inner boundary conjecture fails for dimensions n > 1, unlike in the case n = 1.

Removable sets for the flux of continuous vector fields

“…The proof of property (B) uses a recent result by A. Ruiz de Villa and X. Tolsa [12]. Observe that for k 0 sufficiently large…”

“…According to [12,Theorem 6], we get κ c (E(λ)) := sup{| ∆u, 1 | : u ∈ C 1 (R n ), supp(∆u) ⊆ E, ∇u ∞ 1} = τ −1/2 = 0.…”

Неоднородный Гармонический Анализ: 16 Лет Развития

“…Важность этого понятия для изучения аппроксимации гармоническими функциями в C 1 -норме продемонстрирована в [123]. Емкость κ c можно рассматривать как многомерное обобщение понятия непрерывной аналитической емкости в C. В [100] показано, что емкость κ c соизмерима со своей положительной версией κ c + (модификацией, аналогичной емкости κ + ). В [100] установлено также, что κ c + счетно полуаддитивна.…”

“…Емкость κ c можно рассматривать как многомерное обобщение понятия непрерывной аналитической емкости в C. В [100] показано, что емкость κ c соизмерима со своей положительной версией κ c + (модификацией, аналогичной емкости κ + ). В [100] установлено также, что κ c + счетно полуаддитивна. Отсюда следует, что этим свойством обладает и κ c .…”

Условия $C^m$-приближаемости функций решениями эллиптических уравнений

“…Изучение множеств устранимых особенностей решений однородных эл-липтических уравнений и связанных с ними емкостей в различных классах функций (в основном классических: C m , L p , BM O и др.). Кроме цитируемых выше работ К. Толсы [47], [5] и [41] мы выделим ряд наиболее ярких (на наш взгляд) работ последних лет: [102]- [108], открывающих глубокие связи теории емкостей, геометрической теории меры и теории сингулярных интегралов. От-метим также работы [109], [110], в которых изучаются геометрические свойства некоторых емкостей, обсуждавшихся в связи с рассматриваемыми аппроксима-ционными задачами.…”