Characterization of the Quality of a Triangular Grid as a Set in Some Metric Space

Abstract

Актуальность. Одной из задач в области триангуляционных сеток является определение условий, гарантирующих сохранение свойств сетки при отображении, удовлетворяющем тем или иным условиям. Таким свойством может быть степень сходства/отличия треугольников сетки от эталонных (например, от правильного) или в каком-то смысле критических (например, вырожденных). Под качеством сетки понимается числовая величина, характеризующая эту степень. В частности, качество сетки может быть охарактеризовано локально – через качество составляющих ее треугольников. Соответствующие величины известны различные: как выражения, содержащие длины сторон, значения углов треугольника, радиус вписанной/описанной окружности, и т.д. В данной работе для характеристики качества сетки используется предложенное ранее понятие расстояния между семействами точек – пронумерованными наборами вершин треугольника. Сама сетка представляется как множество точек в некотором метрическом пространстве. Степень качества сетки – расстояние от этого множества до множества, представляющего вырожденные треугольники. Целью работы является изложение методики вычисления степени качества треугольной сетки (как регулярной, так и нерегулярной) на плоскости с использованием понятия расстояния между пронумерованными наборами точек. Результаты.Приведены выкладки по вычислению степени качества сетки из правильных треугольников, из прямоугольных треугольников, и для нерегулярной сетки. Выкладки носят элементарный характер. Область применения результатов. Данная работа может представлять интерес для исследователей в области вычислительной геометрии, численных методов. Изложенное может найти применение в задачах исследования условий сохранения каких-либо свойств сетки при отображениях определенного класса (например, отсутствие захлеста при квазиизометрическом отображении), а также в задачах генерации симплициальных сеток, задачах триангуляции плоских областей. One of the tasks in triangulation meshes is to define conditions that ensure that the properties of the mesh are preserved in a display that satisfies one or another condition. Such a property can be the degree of similarity/difference between grid triangles and reference ones (for example, from the correct one) or in some sense critical ones (for example, degenerate ones). Grid quality refers to a numerical value characterizing this degree. In particular, the quality of the grid can be characterized locally – through the quality of its constituent triangles. The corresponding values are known different: as expressions containing side lengths, triangle angle values, inscribed/circumscribed circle radius, etc. In this work, the previously proposed concept of distance between point families –numbered sets of vertices of a triangle – is used to characterize the quality of the grid. The grid itself is represented as a set of points in some metric space. The degree of mesh quality is the distance from this set to the set representing degenerate triangles. The purpose of the work is to show the specific application of the mentioned general concept of distance to the calculation of triangular grid quality (both regular and irregular) on the plane. Results. Calculates the degree of quality of the grid from regular triangles, from rectangular triangles, and for an irregular grid of four triangles. The calculations are elementary. Scope of applications of results. This work may be of interest to researchers in the field of computational geometry, numerical methods. The above can be used in the tasks of investigating the conditions for preserving any properties of the grid in maps of a certain class (for example, the absence of overlap in quasi-isometric mapping), as well as in problems of generating simplicial grids, problems of triangulation of flat regions.