Chern classes, adeles and L-functions.

Newton-Okounkov bodies, semigroups of integral points, graded algebras and intersection theory

“…, f n is a system of parameters about X • if, for each, i, the function π * i • · · · • π * n (f i ) vanishes at order 1 along the hypersurface π i−1 (X i−1 ) in the normal variety X i . Given a Parshin point X • together with a system of parameters, one can associate an iterated Laurent series to each rational function g on X (see [Par83], [Oko03]). An iterated Laurent series is defined inductively (on the number of parameters).…”

Untitled

“…In [Parshin 1976] the case of a surface is discussed, without attempt to isolate the resulting 2-dimensional local field from its geometric origin. In [Parshin 1983] there is a brief mention of a residue functional on a standalone n-dimensional local field, but without any details whatsoever. Beilinson [1980], quoting [Parshin 1976;1978], incorrectly states that the residue functional on an n-dimensional local field K is independent of the parametrization of K (which, according to Theorem 3.16, means independent of the topology on K).…”

Алексей Николаевич Паршин (К Семидесятилетию Со Дня Рождения)

“…Возвращаясь к исследованиям, связанным с обобщениями классической теории полей классов, в 70-х и 80-х годах XX века в работах [11], [13]- [15], [17], [18], [21], [28] А. Н. Паршин построил теорию полей классов для n-мерных локальных полей (равных характеристик) и алгебраических поверхностей над конечными полями с использованием алгебраической K-теории (несколько позднее аналогичный подход развивался в работах К. Като). Необходимо отметить, что для построения этой теории и, в частности, для геометрического определения n-мерного локального поля А. Н. Паршин предложил идею использовать в качестве основного локального объекта на многомерных схемах не точку или дивизор, а флаг вложенных друг в друга подсхем.…”

“…Используя ее, А. Н. Паршин предложил также необходимую в теории полей классов конструкцию групп аделей, связанных с алгебраическими поверхностями, дал новое локальное определение вычета и формулу для суммы вычетов. Затем в работах [13], [14], [18] он применил эти адельные конструкции к теории пучков, дав новые вычислительные средства для когомологий, теории пересечений, двойственности Серра, классов Чженя. Позднее в работе [46] А. Н. Паршин (совместно с С. О. Горчинским) дал адельное доказательство голоморфной формулы Лефшеца для действия тора на когомологиях расслоений.…”