Closed orbits in homology classes

Abstract

L'accès aux archives de la revue « Publications mathématiques de l'I.H.É.S. » (http:// www.ihes.fr/IHES/Publications/Publications.html) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ CLOSED ORBITS IN HOMOLOGY CLASSES by ATSUSHI KATSUDA and TOSHIKAZU SUNADA Dedicated to Pr. Akihiko Morimoto for his 60th birthday 6 ATSUSHI KATSUDA AND TOSHIKAZU SUNADA hence the winding cycle is regarded as the average of the c< homological " direction in which the orbits are traveling. The central limit theorem (cf. Denker and Philipp [5]) guarantees the existence of the limit 8(<o, co) == ^m-f dm{x) (T < co, Z > (9^ x) rfr-^O(co)) 2 , v •/x \Jo / which yields a positive semi-definite quadratic form on H^X, R). We call 8 the cornnance form. As we will see later, 8 is positive definite on Ker 0, and hence gives rise to a Euclidean metric on Ker 0. Consider the character group H ofH. The tangent space T^ H at the trivial character 1 is identified with the dual H 1 ' == Hom(H,R), which is also identified, in a natural manner, with a subspace in H^X,^. Therefore if 0 vanishes on H 1 ', the covariance form induces a flat metric on the group H. We denote by vol(H) the volume with respect to the metric. Theorem 1 (Density theorem).-If 0 vanishes on the dual H 1 ', then (0.1) 7r(^a)-G^^ asx^co, where b == rank H and C == {2^)-^ vol(H)-1 h~\ The above condition on the winding cycle is necessary for the asymptotic like (0.1). In fact we have the following Theorem 2.-7/'<I)(H 1 ') =t= (0), then for every positive integer N =.(.-) a^.too.

Chebotarev-type theorems in homology classes

“…By the above, we only need to consider the case when L(s, θ⊗R χ ) = L(s, θ+ θ i ). However, if θ ⊗ R χ is nontrivial, then θ = −θ i , so the lemma follows from standard results in [3], [5], [10], [12].…”

“…In this geometric setting, it is also natural to consider infinite covers, and, in particular, the number of closed geodesics lying in a prescribed homology class has been studied by Katsuda and Sunada [4], Phillips and Sarnak [9], Katsuda [3], Lalley [7] and Pollicott [10] (with generalizations to Anosov flows by Katsuda and Sunada [5] and Sharp [12]). In this note we shall combine these points of view, generalizing a result of Zelditch for hyperbolic Riemann surfaces [14].…”

Groupes de Schottky et comptage

“…Nous renvoyons le lecteur uniquement intéressé par ce théorèmeà cette section, qui est indépendante du reste du texte. Notons simplement ici que certaines des difficultés qui surgissent en rang supérieur présentent des analogies avec celles qu'on rencontre en rang 1 lorsqu'il s'agit de compter les géodésiques fermées d'une variété compacteà courbure strictement négative,à classe d'homologie donnée, comme le font A. Katsuda et T. Sunada dans [9], M. Babillot et F. Ledrappier dans [2], N. Anantharaman dans [1] et M. Pollicott et R. Sharp dans [14].…”

“…Remarquons par ailleurs que certaines des difficultés que nous avons rencontrées dans cette démonstration présentent des analogies avec celles qui apparaissent dans l'article de A. Katsuda et T. Sunada [9], où ces auteurs donnent des estimations au premier ordre du nombre de géodésiques ferméesà classe d'homologie fixée dans une variété compacteà courbure strictement négative. Le paragraphe 6.7, en particulier, est très fortement inspiré par cet article.…”

“…Il s'agit de montrer que les fonctions dont il est question dans ce lemme vérifient les hypothèses du corollaire 6.12. Une grande partie des idées utilisées ici provient de [9].…”