Codimensions of algebras and growth functions

Abstract

Let A be an algebra over a field F of characteristic zero and let c n (A), n = 1, 2,. .. , be its sequence of codimensions. We prove that if c n (A) is exponentially bounded, its exponential growth can be any real number > 1. This is achieved by constructing, for any real number α > 1, an F-algebra A α such that lim n→∞ n √ c n (A α) exists and equals α. The methods are based on the representation theory of the symmetric group and on properties of infinite Sturmian and periodic words.

Exponential growth of codimensions of identities of algebras with unity

“…Для построения примеров алгебр с заданным характером поведения {c n (A)} мы воспользуемся подходом, впервые предложенном в работе [13] и базирующемся на комбинаторных свойствах бесконечных двоичных слов. Для этого напомним некоторые понятия.…”

“…Слова Штурма и неассоциативные алгебры В данном параграфе мы построим семейство неассоциативных алгебр, PI-экспоненты которых принимают любые вещественные значения из области [2; ∞). Идея потроения алгебр с заданным ростом коразмерностей на базе слов Штурма впервые была предложена и реализована в работах [33], [13], где для любого вещественного 1 α 2 была построена алгебра A α с exp(A α ) = α. В недавней работе [19] было доказано, что если к A α присоединить внешнюю единицу, то у полученной алгебры A # α экспонента существует и равна α + 1. Построенная ниже серия алгебр обобщает конструкцию, предложенную в [13].…”

“…В работе [13] для всех вещественных γ > 1 были построены примеры ко-нечномерных алгебр с экспоненциальным ростом коразмерностей c n ∼ γ ′ ≈ γ. Как показано в [14], для конечномерных алгебр с 1 экспонециальный рост не может быть медленнее чем 2 n . В работе [15] было отмечено, что если A ассоциативная PI-алгебра, а A # алгебра, полученная из A путем присоединения внешней единицы, то exp(A # ) = exp(A) или exp(A) + 1.…”

“…Тем не менее, это наблюдение позволило выдвинуть гипотезу, что exp(A # ) всегда равняется exp(A) или exp(A) + 1. Первый нетри-виальный пример, подтверждающий эту гипотезу, был построен в [14], еще один пример предложен в [18], а в [19] приведена уже серия примеров, в ко-торых для любой алгебры A из работы [13] , 3]. Заметим также, что в работе [20] автором была предложена конструкция построения по алгебре Ли…”

Codimension growth of two-dimensional non-associative algebras

“…In the general case of non-associative algebras in [2] we constructed a family of algebras A α whose sequence of codimensions has exponential growth, the exponent of A α exists and equals α, where α can be any real number greater than 1.…”