Combinatorics of Bricard’s octahedra

Abstract

We reprove the classification of motions of an octahedron-obtained by Bricard at the beginning of the XX century-by means of combinatorial objects satisfying some elementary rules. The explanations of these rules rely on the use of a well-known creation of modern algebraic geometry, the moduli space of stable rational curves with marked points, for the description of configurations of graphs on the sphere. Once one accepts the objects and the rules, the classification becomes elementary (though not trivial) and can be enjoyed without the need of a very deep background on the topic. Résumé. Dans cet article, on donne une preuve alternative de la classification des mouvements d'un octaèdre, originalement obtenue par Bricard au début du XX e siècle. On utilise une construction combinatoire avec un certain nombre de règles essentielles. Ces règles reposent sur une machinerie bien connue dans la géométrie algébrique moderne : l'espace de modules des courbes rationnelles stables avec des points marqués, utilisé pour codifier les configurations de graphes sur la sphère. On introduit un certain nombre d'objets et de règles : une fois que l'on les assume, la classification des mouvements d'un octaèdre telle que l'on expose devient élémentaire (bien que pas triviale) et peut être appréciée par le lecteur sans besoin de connaissances préalables très approfondies sur le sujet. 1

Zero‐sum cycles in flexible polyhedra

“…The first statement of this kind appeared, to our knowledge, in [15] concerning flexible octahedra (see Figure 1). In a previous work [9] we re-prove this statement in the case of flexible octahedra by means of symbolic computation. There, however, our method provides a finer control on which edges take the positive sign, and which the negative sign.…”

A metric description of flexible octahedra

“…The simplicity of the object under investigation (an octahedron has only six vertices! ), in combination with the nontrivial nature of the result (both in terms of proof and the description of objects) prompted other researchers to find new ways to 'reproduce' Bricard's results and interpret them; we mention the works by Bennett [2], Lebesgue [3], Stachel [4] and the very recent work [5]. In [6] Bricard's octahedra arose as a special case of a general result for spaces of arbitrary dimension.…”