Commutativité des opérateurs différentiels sur l'espace des représentations restreintes d'un groupe de Lie nilpotent

Baklouti, Ali; Fujiwara, H.

doi:10.1016/s0021-7824(03)00063-1

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“…If the orbit Ω(π) is saturated with respect to g , then γ(Ω(π)) is the union of a one parameter family ω t (t ∈ R) of G -orbits. It follows from [3] that π |K is of finite multiplicities, if and only if π t |K is of finite multiplicities for almost all t ∈ R and the orbit K • l is saturated with respect to g for µ π -almost all l ∈ Ω(π). By the induction hypothesis we know that for every t ∈ R such that π t|K is of finite multiplicities, the subspaces b[l t|k ] + g (l t ) are lagrangian for B l t at µ π t -almost all l t ∈ ω t .…”

Section: Frobenius Vectorsmentioning

confidence: 99%

“…Then a l can be identified with a l . We know from [3], that U π (g) k ⊂ U(l q−1 ) + ker(π). Hence we can apply the induction hypothesis to π and a l .…”

Section: Letmentioning

confidence: 99%

“…Concerning the restriction, similar investigations have begun, but much less has been done so far: the canonical central disintegration has been studied in [10], [18] and the associated algebra of invariant differential operators in [2], [3]. In this paper we continue the analysis of the restriction by looking at Frobenius vectors and the Frobenius reciprocity.…”

Section: Introduction and Notationsmentioning

confidence: 97%

“…The algebra U π (g) k = {A ∈ U(g); [A, k] ⊂ ker(π)} and its image D π (G) K under the homomorphism π have been studied in two preceding papers (cf. [2], [3]).…”

Section: Introduction and Notationsmentioning

confidence: 99%

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Analysis of restrictions of unitary representations of a nilpotent Lie group

Baklouti

Fujiwara²,

Ludwig

2005

Bulletin des Sciences Mathématiques

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Let G be a connected simply connected nilpotent Lie group, K an analytic subgroup of G and π an irreducible unitary representation of G. Let D π (G) K be the algebra of differential operators keeping invariant the space of C ∞ vectors of π and commuting with the action of K on that space. In this paper, we assume that the restriction of π to K has finite multiplicities and we show that D π (G) K is isomorphic to a subalgebra of the field of rational K−invariant functions on the co-adjoint orbit Ω(π) associated to π, and for some particular cases, that D π (G) K is even isomorphic to the algebra of polynomial K−invariant functions on Ω(π). We prove also the Frobenius reciprocity for some restricted classes of nilpotent Lie groups, especially in the cases where K is normal or abelian. Résumé. Soit G un groupe de Lie nilpotent connexe et simplement connexe, K un sous-groupe analytique de G et π une représentation unitaire et irréductible G. Soit D π (G) K l'algèbre des opérateurs différentiels qui laissent invariant l'espace des vecteurs C ∞ de π et qui commuttent avec l'action de K sur cet espace. Nous prouvons dans ce papier que sous l'hypothèse que la restriction de πà K està multiplicités finies, l'algèbre D π (G) K est isomorpheà une sous-algèbre du corps des fonctions rationnelles K−invariantes sur l'orbite co-adjointe Ω(π) assoçiéeà π, et dans certains cas particuliers que D π (G) K est même isomorpheà l'algèbre des fonctions polynomiales K−invariantes sur Ω(π). Nous prouvons aussi la réciprocité de Frobenius pour quelques classes de groupes de Lie nilpotents, particulièrement les cas où K est normal ou abélien.

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Section: Frobenius Vectorsmentioning

confidence: 99%

“…Then a l can be identified with a l . We know from [3], that U π (g) k ⊂ U(l q−1 ) + ker(π). Hence we can apply the induction hypothesis to π and a l .…”

Section: Letmentioning

confidence: 99%

Section: Introduction and Notationsmentioning

confidence: 97%

“…The algebra U π (g) k = {A ∈ U(g); [A, k] ⊂ ker(π)} and its image D π (G) K under the homomorphism π have been studied in two preceding papers (cf. [2], [3]).…”

Section: Introduction and Notationsmentioning

confidence: 99%

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Analysis of restrictions of unitary representations of a nilpotent Lie group

Baklouti

Fujiwara²,

Ludwig

2005

Bulletin des Sciences Mathématiques

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“…In case g is a nilpotent Lie algebra, appreciable advances have been achieved in the last few years by Corwin-Greenleaf [10], FujiwaraLion-Magneron-Mehdi [14], Baklouti-Fujiwara [5] and Baklouti-Ludwig [6]. In case where G and H are reductive groups, F. Knop [18] gives a satisfying and remarkable answer to the conjecture.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Quantification pour les paires symétriques et diagrammes de Kontsevich

Cattaneo¹,

Torossian²

2008

Ann. Sci. École Norm. Sup.

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Dans cet article nous appliquons les méthodes de bi-quantification décrites dans [7] au cas des espaces symétriques. Nous introduisons une fonction E(X, Y ), définie pour toutes paires symétriques, en termes de graphes de Kontsevich. Les propriétés de cette fonction permettent de démontrer de manière unifiée des résultats importants dans le cas des paires symétriques résolubles ou quadratiques. Nous montrons que le starproduit décrit dans [7] coïncide, pour toute paire symétrique, avec celui de Rouvière. On généralise un résultat de Lichnerowicz sur la commutativité d'algèbres d'opérateurs différentiels invariants et on résout un problème de M. Duflo sur l'écriture, en coordonnées exponentielles, des opérateurs différentiels invariants sur tout espace symétrique. On décrit l'homomorphisme d'Harish-Chandra en termes de graphes de Kontsevich. On développe une théorie nouvelle pour construire des caractères des algèbres d'opérateurs différentiels invariants. On applique ces méthodes dans le cas des polarisations σ-stables.

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Applications de la bi-quantification à la théorie de Lie

Torossian¹

2010

Higher Structures in Geometry and Physics

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This article in French, with a large English introduction, is a survey about applications of bi-quantization theory in Lie theory. We focus on a conjecture of M. Duflo. Most of the applications are coming from our article with Alberto Cattaneo [13] and some extensions are relating discussions with my student [9]. The end of the article is completely new. We prove that the conjecture E = 1 implies the Kashiwara-Vergne conjecture. Our deformation is non geometric but uses a polynomial deformation of the coefficients.

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Commutativité des opérateurs différentiels sur l'espace des représentations restreintes d'un groupe de Lie nilpotent

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Analysis of restrictions of unitary representations of a nilpotent Lie group

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