Commuting self-adjoint partial differential operators and a group theoretic problem

Fuglede’s conjecture fails in dimension 4

“…Fuglede [1] proved the conjecture in the special case when the spectrum Λ or the translation set Σ is assumed to be a lattice. The general case of the conjecture was open for nearly 30 years, until last year Tao [13] showed an example to disprove one direction of the conjecture in 5 and higher dimensions.…”

“…A log-Hadamard matrix is any real square matrix (h i,j ) k i,j=1 such that the matrix (e 2πih i,j ) k i,j=1 is Hadamard. For a given finite set {t 1 …”

Orthogonal harmonie analysis and scaling of fractal measures

“…Le problème de savoir pour quels sous-ensembles de mesure finie Ω il existe une base orthogonale {e λ (x) := exp(i2πλ · x) : λ ∈ Λ} dans L 2 (m Ω ) aété soulevé par I.E. Segal (1957) et, dans l'article [3], de B. Fuglede, et aétéétudié dans [3,5,6,11,12,13]. Il est bien connu (cf.…”

“…Il est bien connu (cf. [3,12]) qu'un sous-ensemble ouvert, connexe, et de mesure finie Ω de R d admet une base orthogonale si et seulement si la famille des dérivées partielles −i ∂ ∂xj qui opèrent sur C ∞ c (Ω), l'espace des fonctions lisses età support compact dans Ω, admet par extension une famille d'opérateurs hermitiens H j , 1 ≤ j ≤ d, fortement deux-à-deux commutatifs (dans le sens qu'ils ont des résolutions spectrales commutatives).Quand Onétudie une mesure autosimilaire µ avec support contenu dans l'intervalle [0, 1] et telle que le sous-espace vectoriel engendré par l'ensemble des fonctions analytiques e i2πnx : n = 0, 1, 2, . .…”

“…[3,5,12]) que Ω est un ensemble spectral ayant pour spectre Z d , si et seulement si, Ω est un pavé avec l'ensemble de pavage Z d . Les articles [11] et [13] réduisent la conjecture sur les ensembles spectraux périodiquesà certaines questions concernant des sous-ensembles finis du treillis Z d .…”